Beweis
Es sei
-
![{\displaystyle {}V\times W=Z_{1}\cup Z_{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cbf775c411d7bcc1ff623b03714811dccf949df)
eine Zerlegung in abgeschlossene Teilmengen. Wir betrachten
-
![{\displaystyle {}V_{i}={\left\{x\in V\mid x\times W\subseteq Z_{i}\right\}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b37dd8804c6ef42f66a55a9fcea9721db91a71b5)
für
.
Die Mengen
sind irreduzibel nach
Fakt.
Wegen
-
![{\displaystyle {}x\times W\subseteq V\times W=Z_{1}\cup Z_{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8786b9094dfc79e82a50b2055c4e39e40321129)
gilt
oder
.
Also ist
.
Die Mengen
sind abgeschlossen. Wir zeigen dazu, dass das Komplement
offen ist. Es sei dazu
und somit
.
Somit gibt es
mit
-
![{\displaystyle {}(x,y)\notin Z_{1}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2caa604d458280ec99e2c8916e2febf6dd9ba48)
Da
nach
Fakt
offen ist und
enthält, gilt auch für
mit
aus einer offenen Umgebung von
, dass
und damit
-
![{\displaystyle {}x'\times W\not \subseteq Z_{1}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95ca5e55f07f60fbf3508d067ffba38137e1c6da)
also
.
Wegen der Irreduzibilität von
folgt
oder
,
also
oder
.