Beweis
Es sei die endliche Folge
vorgegeben. Wir wählen eine
Primzahl
, die größer als alle
und größer als
ist. Es sei
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}n&:=1\cdot p^{0}+a_{0}p^{1}+2p^{2}+a_{1}p^{3}+\cdots +(s+1)p^{2s}+a_{s}p^{2s+1}\\&=\sum _{i=0}^{s}a_{i}p^{2i+1}+\sum _{i=0}^{s}(i+1)p^{2i}\\&=\sum _{i=0}^{s}(i+1+a_{i}p)p^{2i}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4702b4ed308e74e4f74722c0ad205c887b4facaf)
Die vorgegebene Folge ist also die Folge der Ziffern der ungeraden Stellen in der
-adischen Ziffernentwicklung von
. Wir behaupten
für
.
Zunächst erfüllt
die in der Definition der
-Funktion formulierten Eigenschaften, und zwar mit
-
![{\displaystyle b_{0}=1p^{0}+a_{0}p^{1}+2p^{2}+a_{1}p^{3}+\cdots +kp^{2k-2}+a_{k-1}p^{2k-1}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50c54982c7f64a942ab5d8854c5fd5d908367d70)
-
![{\displaystyle {}b_{1}=p^{2k}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a90d030a3e75edc1bfde7a2ed6f5f22fa28ad2c)
-
![{\displaystyle b_{2}=(k+2)+a_{k+1}p+(k+3)p^{2}+\cdots +(s+1)p^{2(s-k)-2}+a_{s}p^{2(s-k)-1}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bbb5226d69798cbcbc68fc01745b3ea3a1b1e79)
Die erste Eigenschaft ergibt sich aus
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}n&=\sum _{i=0}^{s}a_{i}p^{2i+1}+\sum _{i=0}^{s}(i+1)p^{2i}\\&=\sum _{i=0}^{k-1}a_{i}p^{2i+1}+\sum _{i=0}^{k-1}(i+1)p^{2i}+\sum _{i=k}^{s}a_{i}p^{2i+1}+\sum _{i=k}^{s}(i+1)p^{2i}\\&=b_{0}+p^{2k}{\left(\sum _{i=0}^{s-k}a_{k+i}p^{2i+1}+\sum _{i=0}^{s-k}(k+i+1)p^{2i}\right)}\\&=b_{0}+p^{2k}{\left(k+1+a_{k}p+\sum _{i=1}^{s-k}a_{k+i}p^{2i+1}+\sum _{i=1}^{s-k}(k+i+1)p^{2i}\right)}\\&=b_{0}+b_{1}{\left(k+1+a_{k}p+b_{2}p^{2}\right)},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dd3c7fb60bd319c62e8a36f6a6f1a79649584fe)
die anderen sind klar. Wenn umgekehrt ein
die Bedingungen erfüllt
(mit
),
wobei
ist, so ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}n&=b_{0}+(k+1)p^{2k}+a_{k}p^{2k+1}+b_{2}p^{2k+2}\\&=c_{0}+(k+1)p^{2\ell }+ap^{2\ell +1}+c_{2}p^{2\ell +2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1a2fa883b714aa62e885b14feef1811eb54dcb3)
Da die
-adische Entwicklung von
eindeutig ist, folgen daraus und aus den weiteren Bedingungen die Gleichheiten
und
.