Es sei
und es sei
ein Körper der
Charakteristik
, der eine vierte
primitive Einheitswurzel
und eine
-te primitive Einheitswurzel
enthalte. Wir betrachten die von den Matrizen
-
erzeugte Untergruppe
(die man auch als
bezeichnet)
der
mit ihrer natürlichen Operation auf
.
Es sei
die von
erzeugte
zyklische Untergruppe
der Ordnung
. Da
die Ordnung
besitzt, ist
ein
Normalteiler
in
. Daher können wir
mit Hilfe von Fakt (3)
und
Beispiel
den Invariantenring
ausrechnen. Es ist ja
-
![{\displaystyle {}S:=K[U,V]^{H}=K[U^{2m},V^{2m},UV]=K[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{2m}\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e23d98c4b9a245518917fe305e7a92d475cc6cf9)
Die Operation des nichttrivialen Elementes aus
auf diesem Invariantenring wird durch die Operation von
auf
repräsentiert. Sie ist also durch
und
gegeben und induziert
-
-
-
wobei
ist, je nachdem, ob
gerade oder ungerade ist.
Durch diese Operation ist
-graduiert. Bei
gerade sind
-
invariante Polynome
(bei
ungerade
)
und
und
sind
semiinvariante Polynome.
Mittels
und
lässt sich für jedes Monom
die homogene Zerlegung bezüglich dieser Graduierung angeben
(wegen
kann diese Invariante durch die anderen ausgedrückt werden).
Deshalb bilden
ein
Algebraerzeugendensystem
des Invariantenringes
-
![{\displaystyle {}R^{G}=S^{\mathbb {Z} /(2)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b37f9b664f98fd312332b72df7fe4179f27ed3b)
Es besteht die Relation
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}N^{2}&=Z^{2}(X-Y)^{2}\\&=M{\left(X^{2}+Y^{2}-2XY\right)}\\&=M{\left(L^{2}-4XY\right)}\\&=ML^{2}-4MM^{m}\\&=ML^{2}-4M^{m+1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e2c2c20d53f310825ac84ce3b7037366f816e0b)
Da das Polynom
-
irreduzibel
ist, und der Invariantenring zweidimensional sein muss, ist
-
![{\displaystyle {}R^{G}\cong K[L,M,N]/{\left(N^{2}-ML^{2}+4M^{m+1}\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb4c17d948c59dd54c3f84de1b984e58856f869e)
Unter schwachen Bedingungen an den Körper
ist dieser Ring isomorph zu
-