Beweis
Wir setzen
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![{\displaystyle {}a_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}t\,dt\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bd64d805a455b5726043bde6ac54342dd9efd9e)
Dies ist eine
fallende Folge,
für die aufgrund von
Beispiel
die rekursive Beziehung
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![{\displaystyle {}a_{n}={\frac {n-1}{n}}a_{n-2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be22dc06b91e22915edb00f308b5b3834622d61a)
und die Anfangsbedingungen
und
gelten. Ausgeschrieben bedeutet dies für gerades
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![{\displaystyle {}a_{n}={\frac {(n-1)(n-3)\cdots 3\cdot 1}{n(n-2)\cdots 4\cdot 2}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/209d2a11ea5746ae017d22500d5db5b1f005921c)
und für ungerades
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![{\displaystyle {}a_{n}={\frac {(n-1)(n-3)\cdots 4\cdot 2}{n(n-2)\cdots 5\cdot 3}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/993e9dad554adbc2550b1d59f643dc53386287c5)
Mit
bzw.
schreibt sich dies als
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![{\displaystyle {}a_{2m}={\frac {(2m-1)(2m-3)\cdots 3\cdot 1}{2m(2m-2)\cdots 4\cdot 2}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bcb0c485c81f1814baad58a800d45faacbd5bb6)
bzw. als
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![{\displaystyle {}a_{2m+1}={\frac {2m(2m-2)\cdots 4\cdot 2}{(2m+1)(2m-1)\cdots 5\cdot 3}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d903a92e0e3aa71c3d93324b5441ea58e2a15260)
Da die Folge fallend ist und
gilt, konvergieren die Quotienten
gegen
. Also ist insbesondere
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}1&=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {a_{2m}}{a_{2m+1}}}\\&=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {\,\,\,{\frac {(2m-1)(2m-3)\cdots 3\cdot 1}{2m(2m-2)\cdots 4\cdot 2}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\,\,\,}{\,\,\,{\frac {2m(2m-2)\cdots 4\cdot 2}{(2m+1)(2m-1)\cdots 5\cdot 3}}\,\,\,}}\\&=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {(2m+1)(2m-1)^{2}(2m-3)^{2}\cdots 5^{2}\cdot 3^{2}\cdot 1}{(2m(2m-2)\cdots 4\cdot 2)^{2}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6af9f64c0273a14e0188ae95ea62a73631068ddd)
Hier kann man den Zähler, indem man zwei aufeinander folgende Faktoren ausmultipliziert, als
und den Nenner als
schreiben. Daher ist
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![{\displaystyle {}\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {\prod _{k=1}^{m}4k^{2}}{\prod _{k=1}^{m}(4k^{2}-1)}}={\frac {\pi }{2}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11ee4e99ed735206dedd234be5c327816f6e8985)