Wir betrachten das Integral
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wobei
sei. Eine Stammfunktion zu
ist durch
gegeben. Daher ist
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![{\displaystyle {}\int _{1}^{2}t^{x}dt={\left({\frac {1}{x+1}}t^{x+1}\right)}{|}_{1}^{2}={\frac {1}{x+1}}{\left(2^{x+1}-1\right)}=g(x)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efb9ac19f1450fbf4d1f9b6314c8e7a05f56aad4)
Diese Funktion
drückt den Wert des bestimmten Integrals zum Parameter
aus. Ein Blick auf die Bauart zeigt, dass
stetig und auch differenzierbar ist, und zwar ist nach der
Produktregel
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![{\displaystyle {}g'(x)={\frac {-1}{(x+1)^{2}}}{\left(2^{x+1}-1\right)}+{\frac {1}{x+1}}{\left({\left(\ln 2\right)}2^{x+1}\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f6a845679b9874763815e857028ac708a645c26)
Andererseits kann man auch die Funktion
nach
ableiten und erhält
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![{\displaystyle {}{\frac {\partial }{\partial x}}t^{x}={\left(\ln t\right)}t^{x}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebc904a11a2c5b6e31f402638833debe3f5b0c1f)
Eine Stammfunktion nach
zu dieser Funktion findet man mittels
partieller Integration,
nämlich
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![{\displaystyle {}\int {\left(\ln t\right)}t^{x}={\left(\ln t\right)}{\frac {t^{x+1}}{x+1}}-\int {\frac {1}{t}}\cdot {\frac {t^{x+1}}{x+1}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c9fe719dd75ef51fab517beaaedb055ff009078)
und somit ist
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eine Stammfunktion. Daher ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{1}^{2}{\frac {\partial }{\partial x}}t^{x}dt&={\left({\frac {\ln t}{x+1}}\cdot t^{x+1}-{\frac {1}{(x+1)^{2}}}t^{x+1}\right)}|_{1}^{2}\\&={\frac {\ln 2}{x+1}}\cdot 2^{x+1}-{\frac {1}{(x+1)^{2}}}2^{x+1}+{\frac {1}{(x+1)^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4539315b88a6c5ebeecad095afea69f281435f66)
Dies stimmt mit der Ableitung von
überein, d.h. es ist
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![{\displaystyle {}{\left(x\mapsto \int _{1}^{2}t^{x}dt\right)}'=\int _{1}^{2}{\frac {\partial }{\partial x}}t^{x}dt\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f76bfe8a9082cbd6522c4ee606c621dd3868ed84)
Dahinter verbirgt sich ein allgemeiner Zusammenhang, der in
Fakt
beschrieben wird.