Wir führen Induktion über die Anzahl von
, bei
ist nach Voraussetzung
und man kann ein beliebiges Element aus
als Wert an der Stelle
festlegen.
Es sei nun
-elementig und sei die Aussage für jede kleinere Indexmenge
(und jede Mengenfamilie, die die numerische Bedingung erfüllt)
bewiesen. Wir betrachten zwei Fälle. Erster Fall. Für alle Teilmengen
,
,
gelte sogar die stärkere Bedingung
-
![{\displaystyle {}{\#\left(M_{J}\right)}\geq {\#\left(J\right)}+1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58cd3c845fd6313549551f3a6c2cd1e15d74a839)
Wir wählen ein Element
und
und betrachten
,
,
.
Da stets nur das Element
herausgenommen wird, gilt die numerische Bedingung für diese neue Situation und wir können darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden. Es gibt also eine injektive Abbildung
-
mit
.
Diese Abbildung können wir durch
zu einer injektiven Abbildung von
nach
fortsetzen. Zweiter Fall. Es gibt nun eine echte Teilmenge
mit
-
![{\displaystyle {}{\#\left(J\right)}={\#\left(M_{J}\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a1b5395152785072dd9eb3d4e93458f01b8addf)
Für
gilt die numerische Bedingung nach wie vor. Wir betrachten
-
![{\displaystyle {}K:=I\setminus J\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62565e548a931e3cd457834961388df88d854678)
und
-
![{\displaystyle {}N:=M\setminus M_{J}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ac983ed99414e70b4b13c66554057f38a616583)
und setzen
-
![{\displaystyle {}N_{k}:=M_{k}\cap N\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6217bab02723a17cf00408a58c899047d2b3333)
für
.
Für jede Teilmenge
ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\bigcup _{k\in T\cup J}M_{k}&={\left({\left(\bigcup _{k\in T}M_{k}\right)}\setminus {\left(\bigcup _{k\in J}M_{k}\right)}\right)}\cup {\left(\bigcup _{k\in J}M_{k}\right)}\\&={\left(\bigcup _{k\in T}N_{k}\right)}\uplus {\left(\bigcup _{k\in J}M_{k}\right)}\\&={\left(\bigcup _{k\in T}N_{k}\right)}\uplus M_{J}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37c1ea40d31eb8a8c52c41e486f962494dc5da85)
Nach Voraussetzung hat diese Menge zumindest
Elemente und
hat genau
Elemente. Deshalb besitzt
zumindest
Elemente. D.h. dass
und die
,
,
ebenfalls die numerische Bedingung erfüllen. Wir können die Induktionsvoraussetzung auf
einerseits und auf
andererseits
(mit den zugehörigen Zielmengen)
anwenden und erhalten injektive Abbildungen
-
mit
und
-
mit
.
Da
und
disjunkt sind, setzen sich diese beiden Abbildungen zu einer injektiven Abbildung
mit
zusammen.