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Gebiet/Holomorphe Funktionen/Folge/Konvergenz und Ableitungen/Fakt/Beweis

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Beweis

Da die Aussagen lokal sind, können wir nach Fakt und nach einer Verschiebung direkt davon ausgehen, dass die Folge auf gleichmäßig gegen konvergiert. Es sei und sei die Standardumrundung von mit Radius . Nach Fakt und Fakt ist für

Es sei das Maximum von . Dann gilt unter Verwendung von Fakt

Es sei fixiert, wir behaupten, dass auf lokal gleichmäßig gegen konvergiert. Sei fixiert und vorgegeben. Wir zeigen die gleichmäßige Konvergenz auf mit . Für ist insbesondere

Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz der gegen gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzung gilt. Daher ist

Insbesondere ist

und daher gilt für den Differenzenquotienten

Für konvergiert auf dem Kreisrand gleichmäßig gegen und daher existiert der Limes des Integrals nach Fakt und somit ist komplex differenzierbar. Somit ist die oben bestimmte Grenzfunktion von nach Fakt gleich der -ten Ableitung von .