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Kompakt/Funktionenmenge/Arzela-Ascoli/Total beschränkt/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Beweis

Es sei gegeben. Wegen der gleichgradigen Stetigkeit gibt es zu jedem eine offene Umgebung mit

für alle und alle . Wegen der Kompaktheit von gibt es endlich viele Punkte mit

Es sei

Da die einzelnen Auswertungsbilder beschränkt sind, ist auch beschränkt und daher gibt es endlich viele Punkte in mit

Zu einem Tupel definieren wir

Es ist

Für und gibt es ein mit und somit ist

Also ist

für jedes . Wir wählen zu jedem Tupel eine Funktion . Dann wird von den endlich vielen offenen Bällen überdeckt.