Es seien
und
die konvergenten
Potenzreihen
mit
.
Die eingesetzte Potenzreihe ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}F(G)&={\sum }_{k=0}^{\infty }c_{k}z^{k}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd4a4ea73bfc8291897ede64e75ce4ddcb9c7cf)
mit den Koeffizienten
-
![{\displaystyle {}c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}{\left(\sum _{j_{1}+\cdots +j_{i}=k}b_{j_{1}}\cdots b_{j_{i}}\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb889edc19575b097bab265d73ee13231fa9674c)
Die Potenzen
-
![{\displaystyle {}G(z)^{i}={\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}z^{j}\right)}^{i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68202e3bd1ac42489f3911461258847ef8c7f58d)
sind konvergent nach
Fakt,
sie beschreiben die
-te Potenz von
und die Koeffizientenbeschreibung ist
-
![{\displaystyle {}G(z)^{i}=\sum _{\ell =0}^{\infty }d_{\ell ,i}z^{\ell }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fce75f55d75e810d90a61eed789dbe36a6a54e92)
mit
-
![{\displaystyle {}d_{\ell ,i}=\sum _{(j_{1},\ldots ,j_{i}),\,\sum _{r=1}^{i}j_{r}=\ell }b_{j_{1}}\cdots b_{j_{i}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f576ecc392afa5c37ed84a7e81cb02e8aed366a)
Wegen
tragen nur die Tupel
bei, in denen jeder Index
ist. Daher ist
-
![{\displaystyle {}d_{\ell ,i}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db4672a28cc086c6e3c2bcc4957cbda93d41a6d1)
für
.
Es gilt
-
![{\displaystyle {}c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}d_{k,i}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a86316120d1d8d54a8b84820cfdf984ce060959)
Es sei nun
der
Konvergenzradius
von
und
der Konvergenzradius von
. Es sei
derart, dass
-
![{\displaystyle {}\Vert {G}\Vert _{t}<R\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3720097d9676f49048f7af23914eaa2ccb9fffa)
ist. Solche
gibt es wegen der Stetigkeit von
, siehe
Aufgabe.
Für
ist
-
![{\displaystyle {}\vert {g(z)}\vert \leq \sum _{j=0}^{\infty }\vert {b_{j}}\vert \vert {z}\vert ^{j}\leq \sum _{j=0}^{\infty }\vert {b_{j}}\vert t^{j}=\Vert {G}\Vert _{t}<R\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca26c67f65711a3365069df46b468b75911cde29)
und daher landen diese
unter
im Konvergenzbereich von
. Für
ist also
-
![{\displaystyle {}f(g(z))=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}z^{j}\right)}^{i}=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}{\left(\sum _{\ell =0}^{\infty }d_{\ell ,i}z^{\ell }\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e455a59335140fe1d79d650e2a5ea9b9e7834bb4)
Dabei gilt unter Verwendung von
Fakt (5)
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{i=0}^{\infty }\vert {a_{i}}\vert {\left(\sum _{\ell =0}^{\infty }\vert {d_{\ell ,i}}\vert \vert {z}\vert ^{\ell }\right)}&\leq \sum _{i=0}^{\infty }\vert {a_{i}}\vert {\left(\sum _{\ell =0}^{\infty }\vert {d_{\ell ,i}}\vert t^{\ell }\right)}\\&=\sum _{i=0}^{\infty }\vert {a_{i}}\vert \cdot \Vert {G^{i}}\Vert _{t}\\&\leq \sum _{i=0}^{\infty }\vert {a_{i}}\vert \cdot \Vert {G}\Vert _{t}^{i}\\&=\Vert {F}\Vert _{\Vert {G}\Vert _{t}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a86da92cb69798b00a3be2ba6e5aa64d38cf82c)
was nach der Bedingung an
endlich ist. Es liegt also eine bestimmte Aufspaltung der Familie
,
,
vor, die konvergiert. Daher ist diese Familie und auch die Familie
,
,
summierbar.
Nach
dem großen Umordnungssatz
gilt daher
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}f(g(z))&=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}{\left(\sum _{\ell =0}^{\infty }d_{\ell ,i}z^{\ell }\right)}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}d_{k,i}\right)}z^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\left(\sum _{i=0}^{k}a_{i}d_{k,i}\right)}z^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}z^{k}\\&=(F\circ G)(z).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16ff68015c1a51c4d156de8094841eb61a1eb77e)
Die Hintereinanderschaltung der Funktionen konvergiert also und stimmt mit der formalen Einsetzung überein