Lösung
- Ein Teilmengensystem
auf einer Menge
heißt Dynkin-System, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
- Es ist
.
- Mit
und
gehört auch
zu
.
- Für jede abzählbare Familie
,
,
mit paarweise disjunkten Mengen
ist auch
-
- Die Abbildung
heißt messbar, wenn für jede messbare Menge
das Urbild
messbar ist.
- Das eindeutig bestimmte
Maß
auf
, das für jedes
halboffene Intervall
den Wert
besitzt, heißt
(eindimensionales)
Borel-Lebesgue-Maß.
- Eine Folge von Teilmengen
,
,
in
mit
für alle
heißt Ausschöpfung von
, wenn
gilt.
- Man nennt
gleichgradig stetig
in
, wenn es zu jedem
eine
offene Umgebung
derart gibt, dass für alle
und alle
gilt
-
![{\displaystyle {}d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de3ac92859d0b1f253eccab7dc94374778eaf380)
- Unter dem
-ten
Tschebyschow-Polynom
versteht man das Polynom
-
![{\displaystyle {}T_{n}(t)=\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}t^{n-2k}(t^{2}-1)^{k}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38e91db17eb95f6ef02b35f399430737aebb7232)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der
Produktsatz
für Maße.
- Der Satz von der majorisierten Konvergenz
(oder Satz von Lebesgue).
- Die
Besselsche Abschätzung
in einem
-Vektorraum
mit Skalarprodukt.
Lösung
- Es seien
-
endliche
Maßräume
gegeben. Dann gibt es genau ein
(
-endliches)
Maß
auf der
Produkt-
-
Algebra
, das für alle messbaren Quader
(deren Seiten endliches Maß besitzen)
den Wert
-
![{\displaystyle {}\mu (T_{1}\times \cdots \times T_{n})=\mu _{1}(T_{1}){\cdots }\mu _{n}(T_{n})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e734eeb056d408becf08d2c6e1d5a40720a0eae)
besitzt.
- Es sei
ein
-endlicher Maßraum und es sei
-
eine punktweise konvergente Folge von messbaren Funktionen. Es gebe eine messbare integrierbare Funktion
-
mit
für alle
und alle
. Dann ist auch die
Grenzfunktion
integrierbar, und es gilt
-
![{\displaystyle {}\int _{M}f\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}\,d\mu \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb3f947fa9c910e4cb643972a27eac2a74735be)
- Es sei
ein
-
Vektorraum
mit einem
Skalarprodukt
und sei
,
,
ein
Orthonormalsystem.
Dann ist für jeden Vektor
die Familie
,
,
summierbar
und es gilt
-
![{\displaystyle {}\sum _{i\in I}\vert {\left\langle v,v_{i}\right\rangle }\vert ^{2}\leq \Vert {v}\Vert ^{2}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3a15b11061c6abd3d27e6b129cf1b0385026ace)
Beweise den Eindeutigkeitssatz für Maße.
Lösung
Für jede
messbare Menge
ist
eine
Ausschöpfung
von
, so dass es nach
Lemma 3.4 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) (5)
genügt, die Gleichheit
-
![{\displaystyle {}\mu _{1}(T\cap M_{n})=\mu _{2}(T\cap M_{n})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60dc561edcf50ce523bb7870811fc8767a3a7996)
für alle
und alle
zu zeigen. Es sei
fixiert. Wir betrachten das Mengensystem
-
![{\displaystyle {}{\mathcal {D}}_{n}={\left\{T\in {\mathcal {A}}\mid \mu _{1}(T\cap M_{n})=\mu _{2}(T\cap M_{n})\right\}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bb877a37981a8509444ffdb35d6353dd3b3c851)
und wir wollen zeigen, dass dies ganz
ist. Da
durchschnittstabil ist, gehört nach Voraussetzung jede Menge
zu
.
Wir behaupten, dass
ein
Dynkin-System
ist. Offenbar ist
.
Seien
Teilmengen, die zu
gehören. Dann ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\mu _{1}{\left((T\setminus S)\cap M_{n}\right)}&=\mu _{1}{\left({\left(T\cap M_{n}\right)}\setminus {\left(S\cap M_{n}\right)}\right)}\\&=\mu _{1}(T\cap M_{n})-\mu _{1}(S\cap M_{n})\\&=\mu _{2}(T\cap M_{n})-\mu _{2}(S\cap M_{n})\\&=\mu _{2}{\left({\left(T\cap M_{n}\right)}\setminus {\left(S\cap M_{n}\right)}\right)}\\&=\mu _{2}((T\setminus S)\cap M_{n}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c920d28842a85db98f4ff51b97e952ce7772e9c3)
so dass auch
zu
gehört. Es sei schließlich
,
,
eine
abzählbare Familie
paarweise disjunkter
Teilmengen aus
, und sei
-
![{\displaystyle {}T=\bigcup _{i\in I}T_{i}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74ffd4fc1a582679f0c51937e82a140dd0e276fe)
Dann ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\mu _{1}{\left(T\cap M_{n}\right)}&=\mu _{1}{\left(\bigcup _{i\in I}(T_{i}\cap M_{n})\right)}\\&=\sum _{i\in I}\mu _{1}{\left(T_{i}\cap M_{n}\right)}\\&=\sum _{i\in I}\mu _{2}{\left(T_{i}\cap M_{n}\right)}\\&=\mu _{2}{\left(\bigcup _{i\in I}{\left(T_{i}\cap M_{n}\right)}\right)}\\&=\mu _{2}{\left(T\cap M_{n}\right)},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fb7cfe233a12199397c96c73870f31af02a6d3a)
so dass auch
zu
gehört.
Damit ist
ein Dynkin-System, das das durchschnittsstabile Erzeugendensystem
enthält. Nach
Lemma 1.13 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023))
ist daher
,
und es gilt Gleichheit.
Lösung
Wir denken uns den Eimer als Ausschnitt aus einem Kegel mit runder Grundseite. Wenn der Eimer bis zur Höhe
gefüllt ist, so ist das Wasservolumen darin nach
Satz 12.6 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023))
gleich
-
![{\displaystyle {}{\frac {1}{3}}(120+h)\cdot \pi {\left(10+{\frac {h}{12}}\right)}^{2}-{\frac {1}{3}}\cdot 120\cdot \pi \cdot 10^{2}={\frac {1}{3}}\pi {\left({\frac {1}{144}}(120+h)^{3}-12000\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40854bfded1db8c7dad8d122f477c61fe4922bbc)
Die Wasserzufuhr in den Eimer hängt vom oberen Querschritt ab. Bei einer Regenmenge von
cm ist dies
-
![{\displaystyle {}5\cdot {\left({\frac {25}{2}}\right)}^{2}\cdot \pi ={\frac {3125}{4}}\pi \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7d56fd9daf2ecaf446c9931211bb1191f513165)
Dies führt zur Bedingung
-
![{\displaystyle {}{\frac {1}{3}}{\left({\frac {1}{144}}(120+h)^{3}-12000\right)}={\frac {3125}{4}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25e3dd26acd557c4293f35b73eebee1379b0d7b1)
bzw.
-
![{\displaystyle {}{\left({\frac {1}{36}}(120+h)^{3}-4\cdot 12000\right)}=3\cdot 3125\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba60355e68968b03f5f53549357b8cfc87c38e18)
bzw.
-
![{\displaystyle {}(120+h)^{3}=3\cdot 36\cdot 3125+4\cdot 36\cdot 12000=337500+1728000=2065500\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f990bc583bde6b9c5f67735d8faeeae1af0a52)
Also ist
-
![{\displaystyle {}h={\sqrt[{3}]{2065500}}-120\cong 7,35\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36e66c5d661055a01a8dadc2a4d0d4334221e5bb)
Aufgabe (3 (2+1) Punkte)
Lösung
Es sei
-
eine
integrierbare Funktion.
Zeige, dass es zu jedem
ein
derart gibt, dass
-
![{\displaystyle {}\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B\left(0,r\right)}fd\lambda ^{n}\leq \epsilon \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4020187da683aef547313cd61da7e5071cb024cf)
ist
Lösung
Beweise das Cavalieri-Prinzip für eine messbare Teilmenge
.
Lösung
Wir zeigen zuerst, dass die Zuordnung
-
ein
Maß
auf der Produkt-
-
Algebra
ist. Es sei dazu
eine
abzählbare Zerlegung
in
paarweise disjunkte
messbare Teilmengen.
Nach
Aufgabe 10.10 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023))
ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{M}\nu (T(x))\,d\mu &=\int _{M}\nu {\left({\left(\biguplus _{i\in I}T_{i}\right)}(x)\right)}\,d\mu \\&=\int _{M}\nu {\left(\biguplus _{i\in I}T_{i}(x)\right)}\,d\mu \\&=\int _{M}\sum _{i\in I}\nu (T_{i}(x))\,d\mu \\&=\sum _{i\in I}\int _{M}\nu (T_{i}(x))\,d\mu ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96957ebf7aa28c2b9c478b1685cf89dd62820e95)
so dass die
-
Additivität
erfüllt ist.
Für einen Quader
ist
-
![{\displaystyle {}\int _{M}\nu ((A\times B)(x))\,d\mu =\int _{A}\nu (B)\,d\mu =\mu (A)\cdot \nu (B)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6965f02202b27c670632910b9997de359fd9f6c4)
Aufgrund des
Eindeutigkeitssatzes für das Produktmaß
muss daher das durch das Integral definierte Maß mit dem Produktmaß übereinstimmen.
Es sei
die obere Einheitskreishälfte und sei
-
Berechne
.
Lösung
Nach
nach Satz 12.10 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023))
ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{T}fd\lambda ^{2}&=\int _{-1}^{1}{\left(\int _{0}^{\sqrt {1-x^{2}}}x^{2}y+xy^{3}dy\right)}dx\\&=\int _{-1}^{1}{\left({\frac {1}{2}}x^{2}y^{2}+{\frac {1}{4}}xy^{4}\right)}{|}_{0}^{\sqrt {1-x^{2}}}dx\\&=\int _{-1}^{1}{\left({\frac {1}{2}}x^{2}{\sqrt {1-x^{2}}}^{2}+{\frac {1}{4}}x{\sqrt {1-x^{2}}}^{4}\right)}dx\\&=\int _{-1}^{1}{\left({\frac {1}{2}}x^{2}{\left(1-x^{2}\right)}+{\frac {1}{4}}x{\left(1-x^{2}\right)}^{2}\right)}dx\\&=\int _{-1}^{1}{\left({\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}x^{4}+{\frac {1}{4}}x-{\frac {1}{2}}x^{3}+{\frac {1}{4}}x^{5}\right)}dx\\&={\left({\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{6}}x^{3}-{\frac {1}{8}}x^{4}-{\frac {1}{10}}x^{5}+{\frac {1}{24}}x^{6}\right)}{|}_{-1}^{1}\\&={\frac {2}{15}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f9b95dfe662807f02eaf604223c7815fe5ca1d3)
Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)
a) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus
mit einer reellen Zahl aus
addiert?
b) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus
mit einer reellen Zahl aus
multiplizert?
c) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus
durch eine reelle Zahl aus
(
)
dividiert?
Lösung
a) Nach
Fubini
ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{[a,b]\times [c,d]}x+yd\lambda ^{2}&=\int _{[a,b]\times [c,d]}xd\lambda ^{2}+\int _{[a,b]\times [c,d]}yd\lambda ^{2}\\&=\int _{a}^{b}xdx\int _{c}^{d}1dy+\int _{a}^{b}1dx\int _{c}^{d}ydy\\&={\frac {1}{2}}(b^{2}-a^{2})(d-c)+{\frac {1}{2}}(b-a)(d^{2}-c^{2}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9685f227f9be9413eaa64622a93e309cf99f08dc)
Der Durchschnittswert ergibt sich, wenn man durch die Grundfläche dividiert, das ist also
-
![{\displaystyle {}{\frac {{\frac {1}{2}}(b^{2}-a^{2})(d-c)+{\frac {1}{2}}(b-a)(d^{2}-c^{2})}{(b-a)(d-c)}}={\frac {1}{2}}{\left(b+a+c+d\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6df52f10d108b75f9f057ed18c1b756aab4e9686)
b) Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{[a,b]\times [c,d]}xyd\lambda ^{2}&=\int _{a}^{b}xdx\cdot \int _{c}^{d}ydy\\&={\frac {1}{2}}(b^{2}-a^{2})\cdot {\frac {1}{2}}(d^{2}-c^{2})\\&={\frac {1}{4}}(b^{2}-a^{2})(d^{2}-c^{2}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ba428e56cb3d86915bb68415d490c8682dbd64)
Der Durchschnittswert ist also
-
![{\displaystyle {}{\frac {{\frac {1}{4}}(b^{2}-a^{2})(d^{2}-c^{2})}{(b-a)(d-c)}}={\frac {1}{4}}(b+a)(c+d)={\frac {1}{2}}(b+a)\cdot {\frac {1}{2}}(c+d)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3995bfda330f93022e45f97d8e8aeb49e46b81cc)
c) Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{[a,b]\times [c,d]}{\frac {x}{y}}d\lambda ^{2}&=\int _{a}^{b}xdx\cdot \int _{c}^{d}{\frac {1}{y}}dy\\&={\frac {1}{2}}(b^{2}-a^{2})\cdot {\left(\ln y|_{c}^{d}\right)}\\&={\frac {1}{2}}(b^{2}-a^{2}){\left(\ln d-\ln c\right)}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef2a8961e02c93793bf4229227f135004363859b)
Der Durchschnittswert ist also
-
![{\displaystyle {}{\frac {{\frac {1}{2}}(b^{2}-a^{2}){\left(\ln d-\ln c\right)}}{(b-a)(d-c)}}={\frac {1}{2}}(b+a){\frac {\ln d-\ln c}{d-c}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5610ec2b656b3d7c69ae475c3ec7a7a48b46dd)
Aufgabe (9 (1+4+1+1+2) Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
-
- Zeige, dass
nicht
injektiv
ist.
- Zeige, dass die Einschränkung von
auf
injektiv ist.
- Bestimme die
Jacobi-Matrix
zu
in einem Punkt
.
- Bestimme die
kritischen Punkte
von
. Welches geometrische Gebilde bilden diese?
- Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechteckes
-
![{\displaystyle {}Q=[-1,1]\times [-3,-2]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50f2bbc111c8782a720818b65efae01f02d685e6)
Lösung
- Die beiden Punkte
und
werden beide auf
abgebildet, die Abbildung ist also nicht injektiv.
- Wir machen den Ansatz
-
![{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {y^{2}}{2}}+y\\x(y+1)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3b2315b5ac3776f181fd21c02b7c10306e78694)
Aus der zweiten Gleichung folgt
(wegen
)
-
![{\displaystyle {}x={\frac {v}{y+1}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0c381ebac0cc69821715dd1d278563f276e8d5f)
und daraus mit der ersten Gleichung
-
![{\displaystyle {}g(y)={\frac {v^{2}}{2(y+1)^{2}}}-{\frac {y^{2}}{2}}+y=u\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaaba245c99462d9555dfa62872c61c8b361a90d)
Die Ableitung dieser Funktion
nach
ist
-
Dies ist stets positiv, da alle drei Summanden positiv sind. D.h.
ist streng wachsend und so kann es zu gegebenem
höchstens eine Lösung für
geben, was wegen der ersten Bedingung auch
eindeutig festlegt.
- Die Jacobi-Matrix ist
-
- Die Determinante der Jacobi-Matrix ist
-
![{\displaystyle {}\det {\begin{pmatrix}x&-y+1\\y+1&x\end{pmatrix}}=x^{2}-(y+1)(-y+1)=x^{2}+y^{2}-1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35bb2f78e579d4aba7dd5ea84941fc7de6f789cb)
Ein kritischer Punkt liegt genau dann vor, wenn diese Determinante
ist, was also bei
-
![{\displaystyle {}x^{2}+y^{2}=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a46046c1732c6d1e62264ee81fc97d0b9fa6ad7c)
der Fall ist. Daher bilden die kritischen Punkten den Einheitskreis.
- Die Abbildung ist auf dem Rechteck
injektiv und darauf überall regulär, daher ist nach
Fakt *****
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\lambda ^{2}(\varphi (Q))&=\int _{Q}(x^{2}+y^{2}+1)d\lambda ^{2}\\&=\int _{-3}^{-2}\int _{-1}^{1}(x^{2}+y^{2}+1)dxdy\\&=\int _{-3}^{-2}{\left({\frac {x^{3}}{3}}+xy^{2}+x\right)}{|}_{-1}^{1}dy\\&=2\int _{-3}^{-2}{\left({\frac {1}{3}}+y^{2}+1\right)}dy\\&=2{\left({\frac {4}{3}}y+{\frac {1}{3}}y^{3}\right)}_{-3}^{-2}\\&=2{\left(-{\frac {8}{3}}-{\frac {8}{3}}+4+9\right)}\\&={\frac {46}{3}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0143b4167aef0f8ae8138de63a879f8dcbde6acc)
Lösung
Der metrische Raum sei
. Es sei zuerst
,
,
eine Basis der Topologie. Wir wählen Punkte
und behaupten, dass dies eine dichte Teilmenge ist. Sei
und sei
eine offene Umgebung. Dann ist
-
![{\displaystyle {}V=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46bf3c6d41f9d72c96c3bf3520db0c80a46c553b)
und daher befinden sich auch die Punkte
in dieser Umgebung. Es sei nun umgekehrt
,
eine dichte Teilmenge. Es ist dann auch die Menge der offenen Bälle
,
,
abzählbar. Sei
und sei
eine
offene Umgebung
und sei
.
Wegen der Dichtheit gibt es einen Punkt
mit
-
![{\displaystyle {}d{\left(Q,P_{n}\right)}<{\frac {1}{2m}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e98bcd5430456ad728b48824ef33ad597d9e808b)
Dann ist
.
Lösung Gleichseitiges Dreieck/Seitenlänge 2/Offen/Offener Einheitsball/Überdeckung/Aufgabe/Lösung
Lösung