Beweis
Wir führen Induktion über die Dimension
von
. Bei
ist
und es liegt ein Körper vor. Es sei die Aussage für reguläre Ringe kleinerer Dimension schon bewiesen. Es seien
die
minimalen Primideale
von
. Es ist
und
zu zeigen. Wir wenden
Fakt
auf diese Primideale und auf
und
an. Es ist
,
da die Dimension zumindest
ist, und es ist
,
denn sonst wäre
.
Somit ist
,
d.h. es gibt ein
, das in keinem minimalen Primideal und nicht in
enthalten ist. Nach
Fakt
ist
ein regulärer Ring der Dimension
, es ist also ein Integritätsbereich nach Induktionsvoraussetzung. Somit ist das Hauptideal
ein
Primideal
in
. Da jedes Primideal ein minimales Primideal umfasst, gilt
-
![{\displaystyle {}{\mathfrak {p}}_{i}\subseteq (h)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/befa9256a6d41272c64ad29957327efa22a3c624)
für ein
, und die Inklusion muss nach der Wahl von
echt sein. Somit muss
-
![{\displaystyle {}{\mathfrak {p}}_{i}={\mathfrak {a}}\cdot (h)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d7d4ee89cb46f079384894b11c73a92d3be6ace)
mit einem Ideal
sein. Aus der Primeigenschaft in Verbindung mit
folgt
-
![{\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}_{i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1594699d0908c3e081789d6f94ebaa4f5a3c5e80)
und somit
-
![{\displaystyle {}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{i}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb0985d573adae715a1e0eb484453a821f516e19)
Die Gleichheit
-
![{\displaystyle {}{\mathfrak {p}}_{i}={\mathfrak {p}}_{i}\cdot (h)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d18ff336b703dbf588f130599d8ad7af7f9d5a6b)
erzwingt aber
nach dem Lemma von Nakayama
.