Wir betrachten
-
![{\displaystyle {}Y:={\left\{(x,y,z,w)\in \mathbb {R} ^{4}\mid x^{2}+y^{2}=1,\,(1-y)z=xw,\,xz=(1+y)w\right\}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/214752e43e170fcbac29ed3d19532e6a8cb48e24)
zusammen mit der natürlichen Projektion auf die eindimensionalen Sphäre
-
![{\displaystyle {}S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}=U\cup V\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4584cf64bb2ffa99c1a279e9731134f6511587a6)
mit
und
.
Wir behaupten, dass
ein Vektorbündel vom Rang
ist, das isomorph zum Möbiusband ist. Auf
ist
und daher kann man die zweite Gleichung nach
auflösen, also
-
![{\displaystyle {}z={\frac {x}{1-y}}w\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d56724d8646d6262c104d29fea237057d122169)
Damit ist die dritte Gleichung wegen
-
![{\displaystyle {}xz={\frac {x}{1-y}}xw={\frac {x^{2}}{1-y}}w={\frac {1-y^{2}}{1-y}}w=(1+y)w\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4b8db1c106fa78997a920e00660b7acec92baf3)
automatisch erfüllt. Entsprechend gilt auf
die Beziehung
-
![{\displaystyle {}w={\frac {x}{1+y}}z\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cba81e78487f27f17f7f95002fe0f519932ddde)
und die andere Gleichung ist automatisch erfüllt. Daher ist
auf
bzw. auf
ein triviales Vektorbündel vom Rang
mit der Variablen
bzw.
.
Die Übergangsabbildung auf
ist durch
-
![{\displaystyle {}{\frac {x}{1-y}}={\frac {1+y}{x}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b6d54929af74328617bc79f1e429ba4341fdfa7)
gegeben, eine Matrixbeschreibung dieses Bündels ist also
. Diese Matrix hängt, im Gegensatz zur konstanten Matrix aus
Beispiel
explizit von
-
![{\displaystyle {}(x,y)\in U\cap V\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bbc9c37de49b24213abe6ede81399c846c2ddd6)
ab. Dennoch sind die beiden Vektorbündel zueinander isomorph. Dazu verwenden wir
Aufgabe
und betrachten die beiden stetigen Funktionen
auf
und
auf
, die beide nullstellenfrei sind.
Es ist
-
![{\displaystyle {}{\frac {1}{\sqrt {1+y}}}\cdot {\frac {x}{1-y}}\cdot {\sqrt {1-y}}={\frac {1}{\sqrt {1+y}}}\cdot {\frac {x}{\sqrt {1-y}}}={\frac {x}{\sqrt {1-y^{2}}}}={\frac {x}{\sqrt {x^{2}}}}={\frac {x}{\vert {x}\vert }}=\pm 1\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/313c399a095feb98b442ded5359158a9baa55184)
abhängig vom Vorzeichen von
. Daher sind die Bündel isomorph.