(1). Es sei
gegeben. Es sei zunächst vorausgesetzt, dass in
jedes Element einen Nachfolger besitzt und sei
-
für eine Welt
.
Es sei
mit
. Dann ist
-
und somit
-
also
-
Es sei umgekehrt angenommen, dass
eine Sackgassenwelt
besitzt. Dann ist für eine beliebige Aussagenvariable
-
aber
-
und das Möglichkeitsaxiom kann nicht gelten.
(2). Es sei
gegeben. Es sei zunächst
reflexiv und sei
-
Wegen
ist insbesondere
-
und damit
-
Wenn
nicht reflexiv ist, so sei
und
gelte nicht. Es sei
die Belegung, bei der
-
gelte, aber in allen anderen Welten
. Dann ist
-
und somit ist
-
(3). Es sei
gegeben. Es sei zunächst
symmetrisch und sei
-
Es sei eine von
aus erreichbare Welt
gegeben, also
. Wegen der Symmetrie ist auch
und somit ist
-
Also ist
-
Wenn
hingegen nicht symmetrisch ist, so seien
Welten mit
, aber nicht
. Es sei
eine Aussagenvariable und es sei
die Belegung, bei der
-
gelte und so, dass in allen von
aus erreichbaren Welten
gelte. Dann ist
-
und somit ist
-
also
-
(4). Es sei
gegeben. Es sei zunächst
transitiv und sei
-
Es sei
und
und somit
-
Also ist
-
und damit
-
Es sei nun
nicht transitiv und seien
Punkte mit
,
, aber nicht
. Es sei
eine Aussagenvariable und sei
die Belegung, bei der
in allen von
aus erreichbaren Welten gelte, in allen anderen Welten nicht. Dann ist
-
und
-
da ja
, und somit ist
-
also
-
(5). Es sei
gegeben. Es sei zunächst
euklidisch und sei
-
Somit gibt es eine Welt
mit
und mit
-
Es sei
eine Welt mit
. Nach der euklidischen Eigenschaft ist dann auch
, daher ist
-
Somit ist
-
Es sei nun
nicht euklidisch und seien
Punkte mit
,
, aber nicht
. Es sei
eine Aussagenvariable und sei
die Belegung, bei der
in allen von
aus erreichbaren Welten gelte, in allen anderen Welten nicht. Dann ist
-
und somit
-
In
gilt hingegen
, also
-
Somit gilt
-
und damit
-
(6). Wir arbeiten mit der Kontraposition des Löb-Axioms, also mit
-
Es sei zunächst vorausgesetzt, dass
die graphentheoretischen Eigenschaften besitzt. Sei
und
-
Dann gibt es eine Welt
mit
und mit
-
Wir betrachten Ketten
mit
. Da es keine unendliche Kette gibt, bricht eine solche Kette ab, sagen wir in
. In
gilt dann
-
Wegen der Transitivität ist
von
aus erreichbar und somit ist
-
Es sei nun vorausgesetzt, dass
nicht die Eigenschaften erfüllt. Wenn
nicht transitiv ist, so ist nach
Fakt
in Verbindung mit
Fakt
die Gültigkeit des Löb-Axioms ausgeschlossen. Es sei also eine unendlich lange Kette der Form
gegeben. Wir belegen
für alle
und
für alle anderen Welten. Dann gilt
-
da außerhalb der Kette stets
gilt und innerhalb der Kette stets
gilt.