Beweis
Die Abbildung
ist wohldefiniert und stetig. Zu einem fixierten, von
verschiedenen Punkt
-
![{\displaystyle {}{\left({\tilde {x}}_{1},{\tilde {x}}_{2},{\tilde {y}}_{1},{\tilde {y}}_{2}\right)}\in V\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7c088483a3aae27bd707c7d6b13e0f0051215ca)
zeigen wir, dass es ein eindeutiges Urbild gibt. Wir behaupten, dass die reelle Bahn
,
durch diesen Punkt die dreidimensionale Sphäre in genau einem Punkten schneidet. Die Schnittbedingung ist
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![{\displaystyle {\left(u^{b}{\tilde {x}}_{1}\right)}^{2}+{\left(u^{b}{\tilde {x}}_{2}\right)}^{2}+{\left(u^{a}{\tilde {y}}_{1}\right)}^{2}+{\left(u^{a}{\tilde {y}}_{2}\right)}^{2}=u^{2b}{\left({\tilde {x}}_{1}^{2}+{\tilde {x}}_{2}^{2}\right)}+u^{2a}{\left({\tilde {y}}_{1}^{2}+{\tilde {y}}_{2}^{2}\right)}=1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1e8f25d901e0430a8fbc0e05880681ee89f3f44)
Wegen der monomialen Bedingung sind sowohl
als auch
von
verschieden und daher sind
und
positive reelle Zahlen. Es liegt also eine Gleichung der Form
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![{\displaystyle {}c{\left(u^{b}\right)}^{2}+d{\left(u^{a}\right)}^{2}=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad8762d561577c7975493a6bdf8264aebe88ba96)
vor. Die Gleichung
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![{\displaystyle {}cv^{2}+dw^{2}=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d62deb81b85916060a4de408c9e48ea604ffa3a)
beschreibt eine Ellipse und es muss wegen der Positivität von
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![{\displaystyle {}v=u^{b}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3990721e1a3d039b0bb4e761778e3bc44c85f102)
und
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![{\displaystyle {}w=u^{a}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74060a57fe6c1f25d09cdaa14ec303114e70232f)
gelten. Dafür gibt es nur eine Lösung in
.
(dies sieht man auch, wenn man
nach
ableitet und das aymptotische Verhalten dieser Funktion betrachtet).
Das legt über
etc. auch die anderen Koordinaten im Urbild fest.
Die Norm von
ist wegen
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![{\displaystyle {}\gamma (s)={\left(e^{2b\pi {\mathrm {i} }s},e^{2a\pi {\mathrm {i} }s}\right)}={\left(\cos 2bs,\sin 2bs,\cos 2as,\sin 2as\right)}={\left({\tilde {x}}_{1},{\tilde {x}}_{2},{\tilde {y}}_{1},{\tilde {y}}_{2}\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78c2846eb9f93ad45f987ff76a544a6db33d6a8e)
gleich
. Es sei
die eindeutig bestimmte positive reelle Zahl mit
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![{\displaystyle {}u_{0}^{2b}+u_{0}^{2a}=1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6039ecb50474f95f708e2cd744af5d824c3627ae)
Die beschriebene Hintereinanderschaltung ist dann
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