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Normierte Räume/Kompakter Operator/Charakterisierung/Fakt/Beweis

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Beweis

Von (1) nach (2) ist eine Einschränkung. Es sei (2) erfüllt. Dann ist die Eigenschaft überhaupt für jede offene oder abgeschlossene Kugel erfüllt. Eine beliebige beschränkte Teilmenge ist in einer Kugel enthalten und damit ist der Abschluss ihres Bildes nach Fakt ebenfalls kompakt, es gilt also (1).

Es sei (1) erfüllt und eine beschränkte Folge in gegeben. Dann liegt die Bildfolge in einer kompakten Teilmenge von und besitzt nach Fakt (für diese Richtung braucht man keine abzählbare Basis der Topologie) eine konvergente Teilfolge. Also gilt (3).

Es sei nun (3) erfüllt und beschränkt. Es ist die Kompaktheit von zu zeigen. Es sei , , eine Folge in . Es gibt dann eine Folge mit

Aufgrund der Eigenschaft (3) gibt es eine Teilfolge derart, dass gegen ein Element konvergiert. Doch dann konvergiert auch die Teilfolge gegen .