Es sei zunächst
.
Dann zeigt einerseits die Primidealkette
-
![{\displaystyle {}0\subset {\left(X_{1}\right)}\subset {\left(X_{1},X_{2}\right)}\subset \ldots \subset {\left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b33f0aa7361c61992da5d8276822164981720ad)
dass die Höhe von
zumindest
ist. Da das Ideal
Erzeuger besitzt, folgt andererseits aus
Fakt,
dass die Höhe von
höchstens gleich
ist. Die Höhe ist also genau
.
Wenn ein maximales Ideal der Form
-
![{\displaystyle {}{\mathfrak {m}}={\left(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n}\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a90c7474b96f8418af4d4f8e526fd108aec390ce)
(also ein Punktideal)
mit
vorliegt, so zeigt die gleiche Argumentation, dass seine Höhe gleich
ist
(oder man arbeitet mit einem
-Algebraautomorphismus
von
, der
in
überführt.).
Wenn
algebraisch abgeschlossen
ist, so sind wir nach
Fakt
fertig.
Wenn
ein beliebiger Körper ist, so gibt es eine
ganze
Körpererweiterung
mit
algebraisch abgeschlossen. Die Erweiterung
-
![{\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\subseteq {\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47e5a3c3375d56f796bab00136477b7f176b300f)
ist ebenfalls ganz. Sei
ein maximales Ideal. Dazu gibt es nach
Fakt
und
Fakt
ein maximales Punktideal
-
![{\displaystyle {}{\mathfrak {n}}\subseteq {\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8311a63f0beee635e011b66b43677ad65ff14a74)
das auf
runterschneidet. Eine Primidealkette unterhalb von
der Länge
schneidet auf eine Primidealkette unterhalb von
runter, so dass die Höhe von
zumindest
ist. Umgekehrt gibt es zu einer Primidealkette unterhalb von
nach
Fakt
eine darüberliegende Primidealkette in
. Da eine solche maximal die Länge
besitzt, ist die Höhe von
gleich
.