Es sei
eine
rationale Funktion
in
und in
(mit
und so, dass
auch positive Werte annimmt),
schreiben kann, d.h. es gebe Polynome in zwei Variablen,
,
,
derart, dass
-
![{\displaystyle {}f(x)={\frac {P{\left(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right)}}{Q{\left(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right)}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cf5e0399ed269cc25e13464a1c750a4ef4b1c7f)
gilt.
Dann kann man durch eine
Substitution
der Form
-
![{\displaystyle {}x=\alpha t+\beta \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c59daf1057cbc57cc62348c8a21a4e67221631d)
(
),
die Berechnung von
auf ein Integral der Form
-
,
-
,
-
,
zurückführen, wobei
wieder eine rationale Funktion in zwei Variablen ist.
In diesen drei Fällen führen die Substitutionen
-
,
,
,
auf das Integral über eine rationale Funktion in
trigonometrischen Funktionen
bzw. in
Hyperbelfunktionen