Wir bestimmen eine
Stammfunktion
von
unter Verwendung der Hyperbelfunktionen
und
,
für die nach
Fakt
die Beziehung
gilt. Die
Substitution
-
liefert
-
![{\displaystyle \int _{a}^{b}{\sqrt {x^{2}-1}}\,dx=\int _{\,\operatorname {arcosh} \,a\,}^{\,\operatorname {arcosh} \,b\,}{\sqrt {\cosh ^{2}t-1}}\cdot \sinh t\,dt=\int _{\,\operatorname {arcosh} \,a\,}^{\,\operatorname {arcosh} \,b\,}\sinh ^{2}t\,dt\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/341205241a0d3dd5b2551d8f03e4a73dc35abc80)
Eine Stammfunktion des Sinus hyperbolicus im Quadrat ergibt sich aus
-
![{\displaystyle {}\sinh ^{2}t={\left({\frac {1}{2}}{\left(e^{t}-e^{-t}\right)}\right)}^{2}={\frac {1}{4}}{\left(e^{2t}+e^{-2t}-2\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dd66e37ab6672969cfe1d0993464bc0434e8683)
Daher ist
-
![{\displaystyle {}\int _{}^{}\sinh ^{2}u\,du={\frac {1}{4}}{\left({\frac {1}{2}}e^{2u}-{\frac {1}{2}}e^{-2u}-2u\right)}={\frac {1}{4}}\sinh 2u-{\frac {1}{2}}u\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b5bd2d9f5e66aa9ef08c2505bf4610d21e9bcdc)
und somit
-
![{\displaystyle \int _{}^{}{\sqrt {x^{2}-1}}\,dx={\frac {1}{4}}\sinh(2\,\operatorname {arcosh} \,x\,)-{\frac {1}{2}}\,\operatorname {arcosh} \,x\,\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6531140d4c745c6068561d5e956d4dbf7206d113)
Aufgrund
des Additionstheorems
für Sinus hyperbolicus ist
und daher kann man diese Stammfunktion auch als
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {1}{2}}{\left(\sinh {\left(\,\operatorname {arcosh} \,x\,\right)}\cosh {\left(\,\operatorname {arcosh} \,x\,\right)}-\,\operatorname {arcosh} \,x\,\right)}&={\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {\cosh {\left(\,\operatorname {arcosh} \,x\,\right)}^{2}-1}}\cdot x-\,\operatorname {arcosh} \,x\,\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {x^{2}-1}}\cdot x-\,\operatorname {arcosh} \,x\,\right)}\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2724f1b8fc8ff3d8ea4d3751ed5c67b5bc6548d9)
schreiben.