Es sei
der Koordinatenring von
und sei
das maximale Ideale zu
in
. Im lokalen Ring
gibt es nach Voraussetzung und
Fakt
eine Beschreibung der Form
.
Wir können nach
Fakt
verkleinern, d.h. zu einer affinen offenen Teilmenge
-
![{\displaystyle {}P\in U=D(g)\subseteq V\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67c79b09df872dc2a1f5ff4314c701890005a490)
übergehen und dann annehmen, dass
und dort bereits
gilt. Es ist
nach
Fakt
und
Fakt
der Koordinatenring des Produktes
. Wir betrachten die Funktionen
-
![{\displaystyle {}h_{i}=f_{i}\otimes 1-1\otimes f_{i}\in R\otimes _{K}R\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/147bdf0d6290455c3a9f9a0b3fc333b3072019e6)
diese Funktionen wirken auf
durch
-
![{\displaystyle {}{\left(f_{i}\otimes 1-1\otimes f_{i}\right)}(Q,Q')=f_{i}(Q)-f_{i}(Q')\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe0735e584981f343bb7284315e06ef1c181d23b)
Bezüglich der Einbettung
(vergleiche
Fakt)
-
erhält man durch einschränken aus den
die
zurück. Da die
modulo
linear unabhängig sind, gilt dies auch für
modulo
.
Für die Diagonale ist offenbar
-
![{\displaystyle {}\Delta \subseteq V(h_{1},\ldots ,h_{n})\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2beee2f22518bbd609ccfdd27d2484eb781899ea)
Der Punkt
ist in
nach
Fakt
ein glatter Punkt und damit ist der lokale Ring
regulär
nach
Fakt.
Seine Dimension ist
nach
Fakt.
Nach
Fakt
ist
regulär der Dimension
. Insbesondere ist
nach Fakt
ein Primideal in
der Dimension
und daher muss
gelten.