Eine
Isomorphie
zwischen einem
-dimensionalen
Vektorraum
und dem Standardraum
ist im Wesentlichen äquivalent zur Wahl einer
Basis
in
. Zu einer Basis
-
![{\displaystyle {}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/083ba11887009acdc9f74a0e92732bb3fce2cc99)
gehört die lineare Abbildung
-
die also den Standardraum in den Vektorraum abbildet, indem sie dem
-ten
Standardvektor
den
-ten Basisvektor aus der gegebenen Basis zuordnet. Dies definiert nach
Fakt
eine eindeutige lineare Abbildung, die aufgrund von
Aufgabe
bijektiv
ist. Es handelt sich dabei einfach um die Abbildung
-
Die
Umkehrabbildung
-
ist ebenfalls linear und heißt die zur Basis gehörende Koordinatenabbildung. Die
-te Komponente davon, also die zusammengesetzte Abbildung
-
heißt
-te Koordinatenfunktion. Sie wird mit
bezeichnet, und gibt zu einem Vektor
in der eindeutigen Darstellung
-
![{\displaystyle {}v=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47bd86a30f7cff7622dada7da8a3d195985ba514)
die Koordinate
aus. Man beachte, dass die lineare Abbildung
von der gesamten Basis abhängt, nicht nur von dem Vektor
.
Wenn umgekehrt ein
Isomorphismus
-
gegeben ist, so sind die Bilder
-
eine Basis von
.