Beweis
Aus zwei solchen Darstellungen
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![{\displaystyle {}v=u+w=u'+w'\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5985662e68fb99151378df99f9b84d52347558a3)
mit den geforderten Eigenschaften folgt
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![{\displaystyle {}0=u-u'+w-w'={\tilde {u}}+{\tilde {w}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2179119ff00f63f97d8d911cd37b0e6d155109af)
wobei die beiden Summanden
und
orthogonal zueinander sind, woraus folgt, dass sie
sind.
Zum Existenznachweis sei
der gemäß
Fakt
eindeutig bestimmte Punkt, in dem der Abstand von
zu
minimal wird. Sei
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![{\displaystyle {}w=v-u\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a1dd3a74cbe469277ce5d9c070815accf9c5598)
Es ist
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![{\displaystyle {}\left\langle v-u,u'\right\rangle =0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/992f7347cb00659fc516d191c3292f8a50f9052d)
für jedes
zu zeigen. Wir können
annehmen. Nehmen wir an, dass es ein
mit
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![{\displaystyle {}\left\langle v-u,u'\right\rangle =c\neq 0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3a575e389d3595f803cc1527722d44cd3b0bd91)
gibt, wobei wir
, indem wir eventuell
durch
ersetzen, als negativ annehmen können. Es ist dann
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![{\displaystyle 2\left\langle v-u,\lambda u'\right\rangle +\left\langle \lambda u',\lambda u'\right\rangle =2c\lambda +\lambda ^{2}\left\langle u',u'\right\rangle =\lambda {\left(2c+\lambda \left\langle u',u'\right\rangle \right)}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f102c5a05e51e5a91bad125ef804c2b8e4d316e)
was für
positiv und hinreichend klein negativ ist. Dann ist aber
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\left\langle v-u+\lambda u',v-u+\lambda u'\right\rangle &=\left\langle v-u,v-u\right\rangle +2\left\langle v-u,\lambda u'\right\rangle +\left\langle \lambda u',\lambda u'\right\rangle \\&<\left\langle v-u,v-u\right\rangle \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bff038c7d890bf5b38d2d89a99dbe94cad6c9847)
im Widerspruch dazu, dass der Abstand
(und damit das Abstandsquadrat)
von
zu
in
minimal wird.