Wir betrachten die Körpererweiterung
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![{\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{2}}]=K\subset \mathbb {R} \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6fb97d70a8300b0e4bd935fa9c62d7507f1f8b1)
Der Ganzheitsring ist
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![{\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\sqrt[{3}]{2}}]\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{3}-2)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2b077794e5a965b32919f71d65762ad1938554a)
nach
Fakt.
Das ist keine Galoiserweiterung, da das Polynom
über
(und reell)
nicht zerfällt. Oberhalb von
liegt das einzige Primideal
. Für eine ungerade Primzahl
mit
sind
und
teilerfremd
und daher ist die dritte Potenz
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eine Bijektion. Insbesondere besitzt die
eine eindeutig bestimmte dritte Wurzel
und es gibt eine Faktorzerlegung
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![{\displaystyle {}X^{3}-2=(X-a)(X^{2}+bX+c)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b64d173f9c0de26397b21833912ed0ad69c4575d)
in
, wobei der hintere Faktor
irreduzibel
ist. Deshalb liegen über
in der Erweiterung
zwei Primideale, wobei deren Restekörper einerseits
und andererseits
ist. Inssbesondere sind diese nicht zueinander isomorph. Bei
ist beispielsweise
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![{\displaystyle {}3^{3}=2\mod 5\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4079b50617967472b4076b533d90396ee253b69)
und
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![{\displaystyle {}X^{3}-2=X^{3}+3=(X+2)(X^{2}+3X+4)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a93efdeada021e24e141e9ae366a9b51de0441d)
und somit
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\mathbb {Z} [{\sqrt[{3}]{2}}]\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(5)&=\mathbb {Z} [X]/(X^{3}-2)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(5)\\&=\mathbb {Z} /(5)[X]/(X^{3}-2)\\&=\mathbb {Z} /(5)[X]/(X+2)\times \mathbb {Z} /(5)[X]/(X^{2}+3X+4)\\&\cong \mathbb {Z} /(5)\times {\mathbb {F} }_{25}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2656046582338b603e96bba966e5c638efa7f606)
Bei
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![{\displaystyle {}p=1\mod 3\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ccac750f7c18283f58208a185b005318e0aea5f)
ist
ein Teiler von
und daher gibt es drei dritte Einheitswurzeln in
. Wenn die
in
eine dritte Wurzel besitzt, so besitzt sie sogar drei dritte Wurzeln und die Faser zerfällt in drei Punkte, deren Restekörper
sind. Wenn die
in
keine dritte Wurzel besitzt, so besteht die Faser aus einem einzigen Punkt, dessen Restekörper der Körper mit
Elementen ist.
Sei
.
Dritte Einheitswurzeln sind
. Die andere dritte Potenz ist
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![{\displaystyle {}6=3^{3}=5^{3}=6^{3}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50cf498d52b6d629910cfe5922a2aec994d8edde)
D.h.
ist keine dritte Potenz und
ist ein Körper mit
Elementen.
Sei
.
Die dritten Einheitswurzeln sind
. Die weiteren dritten Potenzen sind
, die
ist also wieder keine dritte Potenz.
Sei
.
Die dritten Einheitswurzeln sind
. Die weiteren dritten Potenzen sind
, die
ist also wieder keine dritte Potenz.
Sei
.
Die dritten Einheitswurzeln sind
.
Hier ist
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![{\displaystyle {}2=4^{3}=20^{3}=7^{3}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7264b17bd42c8645d41b76ebe2f90ee3d8b123c)
D.h. es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\mathbb {Z} [{\sqrt[{3}]{2}}]\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(31)&=\mathbb {Z} [X]/(X^{3}-2)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(31)\\&=\mathbb {Z} /(31)[X]/(X^{3}-2)\\&=\mathbb {Z} /(31)[X]/(X-4)(X-7)(X-20)\\&\cong \mathbb {Z} /(31)\times \mathbb {Z} /(31)\times \mathbb {Z} /(31),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ce50a5303b24750dc6ced391c2847d85b7d2dee)
die Faser besteht also aus drei Punkten, die alle den Restekörper
besitzen.