Es sei
quadratfrei
und
der zugehörige
imaginär-quadratische Zahlbereich.
Es gibt also
Paare von zueinander komplex-konjugierten Einbettungen. Zur
Ganzheitsbasis
bei
bzw.
bei
gehört wie in
Beispiel
berechnet die
reelle Ganzheitsmatrix
-
bzw.
-
Deren Determinante, also bis auf das Vorzeichen der Flächeninhalt der
Grundmasche
des Gitters, ist
-
![{\displaystyle {}\det {\begin{pmatrix}1&0\\0&{\sqrt {\vert {D}\vert }}\end{pmatrix}}={\sqrt {\vert {D}\vert }}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16296795c515fadaf02314ca1ddca2fad63ff51f)
bzw.
-
![{\displaystyle {}\det {\begin{pmatrix}1&{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{2}}\end{pmatrix}}={\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{2}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a06c4c89ea68d637cb250332e7b43bd69234dcdf)
Die
Diskriminante
ist nach
Fakt
gleich
bzw.
. In beiden Fällen erhält man also eine direkte Bestätigung von
Fakt.