Beweis
Nach
Fakt
ist
ein freier
-Modul, dessen Rang der Grad
der zugrunde liegenden Körpererweiterung ist, und nach
Fakt
ist der Faserring über
eine
-dimensionale
-Algebra. In beiden Fällen kann man also die Spur über die Multiplikationsmatrix bezüglich einer Basis berechnen. Es sei eine
-Basis
von
fixiert. Eine
-Basis von
wird modulo
zu einer
-Basis von
, siehe den Beweis zu
Fakt.
In der Multiplikationsmatrix zu
bezüglich
stehen die ganzen Zahlen
, die durch
-
![{\displaystyle {}fb_{i}=\sum _{j=1}^{n}c_{ij}b_{j}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a77a2935cc2afc2047ee5ce93aa42be029a90c2)
gegeben sind. Da
ein Ringhomomorphismus ist, folgt
-
![{\displaystyle {}{\overline {f}}{\overline {b}}_{i}=\sum _{j=1}^{n}{\overline {c}}_{ij}{\overline {b}}_{j}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7db8642726ac70b2238fd283a6c1cf12fc60393e)
und daher ist die Multiplikationsmatrix zu
bezüglich
einfach die komponentenweise reduzierte Matrix. Deshalb ist insbesondere die Reduktion der Spur
-
![{\displaystyle {}\operatorname {Spur} {\left(f\right)}=\sum _{i=1}^{n}c_{ii}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2521234b95dcd96be80dd3d659164f4c6ad5ae9d)
gleich
, also gleich der Spur der Reduktion.