Äquivalenzrelation/Abbildung/Gleichwertig/Quadrat und Betrag/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir sagen, dass zwei Zahlen ${}x,y\in K$ „bis (eventuell) auf das Vorzeichen“ übereinstimmen, wenn ${}x=y$ oder ${}x=-y$ ist. Dafür schreiben wir kurz

${}x=\pm y\,.$

Dies ist eine Äquivalenzrelation. Dabei ist die Reflexivität unmittelbar klar, die Symmetrie erhält man, indem man die Gleichung ${}x=-y$ mit ${}-1$ multipliziert und ${}(-1)(-1)=1$ ausnutzt. Ähnlich wird auch die Transitivität begründet. Diese Äquivalenzrelation lässt sich auch einfach im Sinne von Fakt beschreiben. Es ist nämlich ${}x=\pm y$ genau dann, wenn ${}x^{2}=y^{2}$ gilt. Dabei ist die Hinrichtung klar. Für die Rückrichtung sei also ${}x^{2}=y^{2}$. Bei ${}x=0$ ist auch ${}y=0$ und die Aussage gilt, seien also die Zahlen von ${}0$ verschieden. Durch Division durch ${}y^{2}$ erhält man

${}{\left({\frac {x}{y}}\right)}^{2}=1\,.$

Wegen ${}u^{2}-1=(u-1)(u+1)$ und Fakt sind aber ${}1$ und ${}-1$ die einzigen Lösungen der Gleichung

${}u^{2}=1\,$

in einem Körper, und somit ist ${}{\frac {x}{y}}=\pm 1$ und ${}x=\pm y$. In einem angeordneten Körper gilt darüber hinaus auch ${}x=\pm y$ genau dann, wenn ${}\vert {x}\vert =\vert {y}\vert$ gilt. Es gibt also im Allgemeinen mehrere Funktionen, mit denen man eine Äquivalenzrelation erfassen kann.