Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Verschiedene rationale Darstellungen einer algebraischen Funktion/Beziehung im Koordinatenring/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge, und ${}U\subseteq V$ eine Zariski-offene Menge. Es sei ${}P\in V$ ein Punkt und es sei ${}f\colon U\rightarrow K$ eine algebraische Funktion, für die es die beiden rationalen Darstellungen ${}{\frac {G_{1}}{H_{1}}}$ und ${}{\frac {G_{2}}{H_{2}}}$ gebe mit ${}G_{1},H_{1},G_{2},H_{2}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und mit ${}P\in D(H_{1}),D(H_{2})\subseteq U$.

Dann gibt es ${}r\in \mathbb {N}$ mit

$H_{1}^{r}H_{2}^{r}(G_{1}H_{2}-G_{2}H_{1})^{r}=0{\text{ in }}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}.$

Ist ${}{\mathfrak {a}}$ ein Radikalideal, so gilt sogar ${}H_{1}H_{2}(G_{1}H_{2}-G_{2}H_{1})=0$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen