Algebraische Körpererweiterung/Normale Hülle/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K\subseteq L$ eine algebraische Körpererweiterung. Man nennt einen Körper ${}N$ mit ${}L\subseteq N$ eine normale Hülle von ${}L$ über ${}K$, wenn ${}N$ der gemeinsame Zerfällungskörper aller Minimalpolynome von Elementen aus ${}L$ ist.

Lemma

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung.

Dann existiert die normale Hülle ${}L\subseteq N$.

Beweis

Es sei ${}L=K(x_{1},\ldots ,x_{n})$ und seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ die zugehörigen Minimalpolynome. Wir setzen ${}P=P_{1}\cdots P_{n}$, und es sei ${}N$ der Zerfällungskörper von ${}P$ über ${}L$. Nach Fakt ist die Körpererweiterung ${}K\subseteq N$ normal.

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