Angeordneter Körper/Folgen/Nullfolgen als Unterraum/1 durch n und 1 durch n^2/Aufgabe/Lösung

a) Wir müssen zeigen, dass ${}U$ nicht leer ist und bezüglich der Addition und der Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Die konstante Nullfolge, also das Nullelement von ${}V$ , ist offenbar eine Folge, die gegen ${}0$ konvergiert.

Es seien ${}x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} _{+}}$ und ${}y=(y_{n})_{n\in \mathbb {N} _{+}}$ zwei Folgen aus ${}U$ , also zwei Nullfolgen. Wir müssen zeigen, dass auch die Summe ${}x+y$ gegen null konvergiert. Es sei dazu ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Für ${}\epsilon /2$ gibt es, da die beiden Folgen gegen ${}0$ konvergieren, natürliche Zahlen ${}n_{0}$ und ${}m_{0}$ mit

\vert {x_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}{\text{ für }}n\geq n_{0}

und

\vert {y_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}{\text{ für }}n\geq m_{0}.

Aufgrund der Dreiecksungleichung für den Betrag gilt daher für ${}n\geq {\max {\left(n_{0},m_{0}\right)}}$ die Abschätzung

{}\vert {x_{n}+y_{n}}\vert \leq \vert {x_{n}}\vert +\vert {y_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon \,,

also liegt eine Nullfolge vor.

Zum Nachweis der Abgeschlossenheit unter der skalaren Multiplikation sei ${}(x_{n})_{n\in \mathbb {N} _{+}}$ konvergent und ${}s\in K$ gegeben. Wir müssen zeigen, dass die Folge ${}sx_{n},n\in \mathbb {N} _{+}$ , gegen ${}0$ konvergiert. Bei ${}s=0$ ist dies die Nullfolge, sei also ${}s\neq 0$ . Wegen

\vert {sx_{n}}\vert =\vert {-sx_{n}}\vert

können wir annehmen, dass ${}s$ positiv ist. Es sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Dann ist ${}\epsilon /s$ ebenfalls positiv und aufgrund der Konvergenz von ${}(x_{n})_{n\in \mathbb {N} _{+}}$ gegen ${}0$ gibt es ein ${}n_{0}$ derart, dass für ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

{}\vert {x_{n}}\vert \leq \epsilon /s\,

gilt. Für

{}n\geq n_{0}

gilt daher wegen

der Multiplikativität des Betrags

{}\vert {sx_{n}}\vert =s\vert {x_{n}}\vert \leq s\epsilon /s=\epsilon \,,

sodass auch diese Folge gegen

${}0$ konvergiert.

b) Die beiden Folgen sind linear unabhängig. Sie sind beide nicht die konstante Nullfolge. Sie wären also nur dann linear abhängig, wenn die eine Folge ein skalares Vielfaches der anderen wäre. Nehmen wir also an, dass für ein ${}s\in K$ die Beziehung