Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten/Zurückziehen unter Abbildungen/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}L$ und ${}M$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

eine differenzierbare Abbildung. Es sei ${}\omega$ eine ${}k$-Differentialform auf ${}M$. Dann nennt man die ${}k$-Form auf ${}L$, die der durch

$(P,v_{1},\ldots ,v_{k})\longmapsto \omega (\varphi (P),T_{P}(\varphi )(v_{1}),\ldots ,T_{P}(\varphi )(v_{k}))$

gegebenen alternierenden Abbildung entspricht, die mit ${}\varphi$ zurückgezogene ${}k$-Form. Sie wird mit

$\varphi ^{*}\omega$

bezeichnet.

Lemma

Es seien ${}L$ und ${}M$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

eine differenzierbare Abbildung. Dann erfüllt das Zurückziehen von Differentialformen folgende Eigenschaften.

1. Für eine Funktion ${}f\in \operatorname {Abb} (M,\mathbb {R} )={\mathcal {E}}^{0}(M)$ ist ${}\varphi ^{*}(f)=f\circ \varphi$.
2. Die Abbildungen

   $\varphi ^{*}\colon {\mathcal {E}}^{k}(M)\longrightarrow {\mathcal {E}}^{k}(L),\,\omega \longmapsto \varphi ^{*}\omega ,$

   sind ${}\mathbb {R}$-linear.

3. Wenn ${}L\subseteq M$ eine offene Untermannigfaltigkeit ist, so ist das Zurückziehen einer Differentialform ${}\omega$ einfach die Einschränkung ${}\omega {|}_{L}$ auf diese Teilmenge.
4. Es sei ${}N$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit und

   $\psi \colon M\longrightarrow N$

   eine weitere differenzierbare Abbildung. Dann gilt

   ${}(\psi \circ \varphi )^{*}(\omega )=\varphi ^{*}(\psi ^{*}(\omega ))\,$

   für jede Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(N)$.

Beweis

(1) folgt unmittelbar aus der Definition.
(2). Wir müssen für Differentialformen ${}\omega _{1}$ und ${}\omega _{2}$ und Skalare ${}a,b\in \mathbb {R}$ zeigen, dass ${}\varphi ^{*}(a\omega _{1}+b\omega _{2})=a\varphi ^{*}\omega _{1}+b\varphi ^{*}\omega _{2}$ gilt. Eine solche Gleichheit von Differentialformen bedeutet, dass die Gleichheit in jedem Punkt ${}P\in L$ und für jedes ${}k$-Tupel von Tangentialvektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{k}\in T_{P}L$ gilt. Daher folgt die Behauptung aus

${}{\begin{aligned}{\left(\varphi ^{*}(a\omega _{1}+b\omega _{2})\right)}{\left(P,v_{1},\ldots ,v_{k}\right)}&=(a\omega _{1}+b\omega _{2}){\left(\varphi (P),T_{P}(\varphi )(v_{1}),\ldots ,T_{P}(\varphi )(v_{k})\right)}\\&=a\omega _{1}{\left(\varphi (P),T_{P}(\varphi )(v_{1}),\ldots ,T_{P}(\varphi )(v_{k})\right)}\\&\,\,\,\,\,+b\omega _{2}{\left(\varphi (P),T_{P}(\varphi )(v_{1}),\ldots ,T_{P}(\varphi )(v_{k})\right)}\\&={\left(a\varphi ^{*}\omega _{1}\right)}(P,v_{1},\ldots ,v_{k})+{\left(b\varphi ^{*}\omega _{2}\right)}(P,v_{1},\ldots ,v_{k}).\end{aligned}}$

(3) folgt unmittelbar aus der Definition.
(4). Es sei ${}Q\in L$, ${}u_{1},\ldots ,u_{k}\in T_{Q}L$ und ${}\omega$ eine ${}k$-Form auf ${}N$. Dann gilt unter Verwendung von Fakt  (4)

${}{\begin{aligned}((\psi \circ \varphi )^{*}(\omega ))(Q,u_{1},\ldots ,u_{k})&=\omega {\left((\psi \circ \varphi )(Q),T_{Q}(\psi \circ \varphi )(u_{1}),\ldots ,T_{Q}(\psi \circ \varphi )(u_{k})\right)}\\&=\omega {\left(\psi (\varphi (Q)),{\left(T_{\varphi (Q)}\psi \right)}((T_{Q}\varphi )(u_{1})),\ldots ,{\left(T_{\varphi (Q)}\psi \right)}((T_{Q}\varphi )(u_{k}))\right)}\\&={\left(\psi ^{*}(\omega )\right)}{\left(\varphi (Q),T_{Q}(\varphi )(u_{1}),\ldots ,T_{Q}(\varphi )(u_{k})\right)}\\&={\left(\varphi ^{*}{\left(\psi ^{*}(\omega )\right)}\right)}(Q,u_{1},\ldots ,u_{k}),\,\end{aligned}}$

und dies ist die Behauptung.

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Lemma

Es seien ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ offene Teilmengen, deren Koordinaten mit ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ bzw. mit ${}y_{1},\ldots ,y_{m}$ bezeichnet seien. Es sei

$\varphi \colon U\longrightarrow V$

eine differenzierbare Abbildung und es sei ${}\omega$ eine ${}k$-Differentialform auf ${}V$ mit der Darstellung

${}\omega =\sum _{I,\,{\#\left(I\right)}=k}f_{I}dy_{I}\,,$

wobei ${}f_{I}\colon V\rightarrow \mathbb {R}$ Funktionen sind.

Dann besitzt die zurückgezogene Form die Darstellung

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}\omega &=\sum _{I,\,{\#\left(I\right)}=k}{\left(f_{I}\circ \varphi \right)}\left(\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}\det {\left({\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}_{i\in I,j\in J}\right)}dx_{J}\right)\\&=\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}\left(\sum _{I,\,{\#\left(I\right)}=k}{\left(f_{I}\circ \varphi \right)}\det {\left({\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}_{i\in I,j\in J}\right)}\right)dx_{J}.\end{aligned}}$

Beweis

Die zweite Gleichung beruht auf einer einfachen Umordnung. Aufgrund von Fakt (2) kann man sich auf den Fall ${}\omega =f_{I}dy_{I}$ beschränken. Wir setzen ${}f=f_{I}$ und dürfen ${}I=\{1,\ldots ,k\}$ annehmen. Wir zeigen die Gleichheit der beiden ${}k$-Formen auf ${}U$, indem wir zeigen, dass sie für jeden Punkt ${}P\in U$ und jedes Dachprodukt ${}e_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{j_{k}}$ mit ${}1\leq j_{1}=\ldots =j_{k}\leq n$ den gleichen Wert liefern. Es ist einerseits

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}(fdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{k})(P,e_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{j_{k}})&=(fdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{k})(\varphi (P),T_{P}(\varphi )(e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge T_{P}(\varphi )(e_{j_{k}}))\\&=f(\varphi (P))(dy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{k})({\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j_{1}}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j_{1}}}}(P)\end{pmatrix}}\wedge \ldots \wedge {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j_{k}}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j_{k}}}}(P)\end{pmatrix}})\\&=f(\varphi (P))\cdot \det {\left((dy_{i}){\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j_{\ell }}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j_{\ell }}}}(P)\end{pmatrix}}\right)}_{1\leq i,\ell \leq k}\\&=f(\varphi (P))\cdot \det {\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j_{\ell }}}}(P)\right)}_{1\leq i,\ell \leq k}.\,\end{aligned}}$

Wenn man andererseits die Summe auf ${}e_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{j_{k}}$ anwendet, so ist ${}dx_{J}(e_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{j_{k}})=0$ außer bei ${}J=\{j_{1},\ldots ,j_{k}\}$, wo sich der Wert ${}1$ ergibt, sodass sich also der gleiche Wert ergibt.

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Korollar

Es seien ${}U,V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen, deren Koordinaten mit ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ bzw. mit ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ bezeichnet seien. Es sei

$\varphi \colon U\longrightarrow V$

eine differenzierbare Abbildung und es sei ${}\omega$ eine ${}n$-Differentialform auf ${}V$ mit der Darstellung

${}\omega =fdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{n}\,.$

Dann besitzt die zurückgezogene Form die Darstellung

${}\varphi ^{*}\omega =(f\circ \varphi )\cdot \det {\left({\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,.$

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.

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