Differenzierbare Funktion/Äquivalenzrelation durch Ableitungsbedingung/Aufgabe/Lösung

a) Wir betrachten die Abbildung

$H\colon M\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,f\longmapsto (f(0),f'(0),f^{\prime \prime }(1)).$

Zwei Funktionen ${}f$ und ${}g$ stehen genau dann in dieser Relation zueinander, wenn ihre Bilder unter ${}H$ übereinstimmen. Daher liegt eine Äquivalenzrelation vor (und ${}H$ beschreibt die Äquivalenzklassenbildung).

b) Das Polynom

$a+bx+{\frac {c}{2}}x^{2}$

wird unter ${}H$ auf ${}(a,b,c)$ abgebildet, so dass dieses Polynom diese Klasse repräsentiert.

c) Es sei ${}f_{1}\sim g_{1}$ und ${}f_{2}\sim g_{2}$. Es ist ${}(f_{1}+f_{2})\sim (g_{1}+g_{2})$ zu zeigen. Dies folgt aber sofort aufgrund der Additivität der Ableitung.

d) Wir betrachten ${}f_{1}=g_{1}=x$ und ${}f_{2}=x$ und ${}g_{2}=x^{3}-3x^{2}+x$. Offenbar ist ${}f_{1}\sim g_{1}$. Die relevanten Werte für ${}f_{2}$ sind wegen ${}f_{2}=x,\,f_{2}'=1,\,f_{2}^{\prime \prime }=0$ einfach

$H(f_{2})=(0,1,0).$

Für ${}g_{2}$ ergibt sich ${}g_{2}=x^{3}-3x^{2}+x,\,g_{2}'=3x^{2}-6x+1,\,g_{2}^{\prime \prime }=6x-6$. Daher ist

$H(g_{2})=(0,1,0),$

so dass ${}f_{2}\sim g_{2}$ ist. Wir behaupten, dass ${}f_{1}f_{2}$ und ${}g_{1}g_{2}$ nicht äquivalent sind. Es ist ${}f_{1}f_{2}=x^{2}$ mit den Ableitungen ${}(x^{2},2x,2)$ und daher ist

$H(f_{1}f_{2})=(0,0,2).$

Für ${}g_{1}g_{2}=x(x^{3}-3x^{2}+x)=x^{4}-3x^{3}+x^{2}$ hat man die Ableitungen ${}(x^{4}-3x^{3}+x^{2},4x^{3}-9x^{2}+2x,12x^{2}-18x+2)$ und daher ist

$H(g_{1}g_{2})=(0,0,-4)\neq H(f_{1}f_{2}).$

Zur gelösten Aufgabe