Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kette von abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}P\in M$ ein Punkt und ${}P\in U$ eine offene Kartenumgebung zusammen mit einer Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V\subseteq \mathbb {R} ^{n},$

wobei ${}V=B(0,3)$ die offene Kugel mit Mittelpunkt ${}0$ und Radius ${}3$ sei und wobei ${}\alpha (P)=0$ gelte. Für ${}i=1,\ldots ,n-1$ betrachten wir

$B_{i}={\left\{x\in V\mid (x_{1}-1)^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1,\,x_{i+2}=0,\,x_{i+3}=0,\ldots ,x_{n}=0\right\}}.$

Es ist also ${}B_{n-1}$ die Kugeloberfläche mit Mittelpunkt ${}(1,0,\ldots ,0)$ und Radius ${}1$, ${}B_{n-2}$ ist darin der durch ${}x_{n}=0$ definierte „Äquator“ u.s.w. Man erhält ${}B_{i}$ aus ${}B_{i+1}$, indem man zusätzlich noch ${}x_{i+2}=0$ setzt. Daher liegt eine absteigende Kette von abgeschlossenen Teilmengen

$B_{n-1}\supseteq B_{n-2}\supseteq \ldots \supseteq B_{1}\supseteq B_{0}$

vor

(${}B_{0}$ besteht aus den beiden Punkten ${}(\pm 1,0,\ldots ,0)$). Wir fassen ${}B_{i}$ als die Faser über dem Nullpunkt der Abbildung

$\varphi _{i}\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ^{n-i},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto ((x_{1}-1)^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-1,x_{i+2},\ldots ,x_{n}),$

auf. Die Jacobimatrix dieser Abbildung ist

${\begin{pmatrix}2x_{1}-2&2x_{2}&\ldots &2x_{i+1}&2x_{i+2}&\ldots &2x_{n-1}&2x_{n}\\0&0&\ldots &0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &\ldots &\ldots &0&1&0\\0&0&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &0&1\end{pmatrix}}.$

Der Rang dieser Matrix ist nur bei ${}x_{1}=1,\,x_{2}=\cdots =x_{i+1}=0$ kleiner als ${}n-i$, ein solcher Punkt liegt also nicht auf ${}B_{i}$. Das bedeutet, dass die Abbildung ${}\varphi _{i}$ in der Faser ${}B_{i}$ regulär ist, so dass ${}B_{i}$ aufgrund des Satzes über implizite Abbildungen eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}V$ der Dimension ${}i$ ist.

Wir setzen nun ${}M_{i}=\alpha ^{-1}(B_{i})$ für ${}i=1,\ldots ,n-1$ und ${}M_{n}=M$. Da die ${}B_{i}$ kompakt sind, sind die ${}M_{i}$ auch abgeschlossene Teilmengen in ${}M$. Da die Bedingung für eine abgeschlossene Mannigfaltigkeit eine lokale Eigenschaft ist, handelt es sich um abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten von ${}M$.

Zur gelösten Aufgabe