Differenzierbare Mannigfaltigkeit/R/Differenzierbare Abbildung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}L$ und ${}M$ zwei ${}C^{k}$-Mannigfaltigkeiten mit Atlanten ${}(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)$ und ${}(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)$. Es sei ${}1\leq \ell \leq k$. Eine stetige Abbildung

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

heißt eine ${}C^{\ell }$-differenzierbare Abbildung, wenn für alle ${}i\in I$ und alle ${}j\in J$ die Abbildungen

$\beta _{j}\circ \varphi \circ (\alpha _{i})^{-1}\colon \alpha _{i}(\varphi ^{-1}(V_{j})\cap U_{i})\longrightarrow V_{j}'$

${}C^{\ell }$-differenzierbar sind.

Da die ${}\alpha _{i}{\left(\varphi ^{-1}(V_{j})\cap U_{i}\right)}$ offen sind, ist durch diese Definition der Differenzierbarkeitsbegriff für Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten auf den Differenzierbarkeitsbegriff von Abbildungen zwischen offenen Mengen in reellen Vektorräumen zurückgeführt. Da man eine ${}C^{k}$-Mannigfaltigkeit als eine ${}C^{\ell }$-Mannigfaltigkeit für ${}\ell \leq k$ auffassen kann, genügt es im Wesentlichen, von ${}C^{k}$-Abbildungen zwischen ${}C^{k}$-Mannigfaltigkeiten zu sprechen. Wichtig sind insbesondere die Fälle ${}k=1,2,\infty$. Man beachte, dass wir bei ${}k=1$ von einer differenzierbaren Abbildung sprechen, ohne dass es (bisher) eine „Ableitung“ gibt.

Proposition

Es seien ${}L,M$ und ${}N$ ${}C^{k}$-Mannigfaltigkeiten. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Identität

   $\operatorname {Id} \,\colon L\longrightarrow L$

   ist eine ${}C^{k}$-Abbildung.

2. Jede konstante Abbildung

   $\varphi \colon L\longrightarrow M$

   ist eine ${}C^{k}$-Abbildung.

3. Für jede offene Teilmenge ${}U\subseteq L$ ist die offene Einbettung ${}U\rightarrow L$ eine ${}C^{k}$-Abbildung.
4. Es seien

   $\varphi \colon L\longrightarrow M$

   und

   $\psi \colon M\longrightarrow N$

   ${}C^{k}$-Abbildungen. Dann ist auch die Hintereinanderschaltung

   $\psi \circ \varphi \colon L\longrightarrow N$

   eine ${}C^{k}$-Abbildung.

Beweis

(1). Die zu überprüfenden Abbildungen sind genau die Kartenwechsel ${}\alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}$, die nach Definition einer ${}C^{k}$-differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}C^{k}$-Diffeomorphismen sind.
(2). Die zu überprüfenden Abbildungen sind bezüglich jeder Karte konstant, also beliebig oft differenzierbar.
(3). Die zu überprüfenden Abbildungen zu ${}i,j\in I$ sind gleich

$\alpha _{i}{\left(U\cap U_{i}\cap U_{j}\right)}\subseteq \alpha _{i}{\left(U_{i}\cap U_{j}\right)}{\stackrel {\alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}}{\longrightarrow }}U'_{j},$

also eine offene Einbettung gefolgt von einem differenzierbaren Kartenwechsel.
(4). Es seien

$\gamma _{\ell }\colon W_{\ell }\longrightarrow W'_{\ell }$

die Karten für ${}N$. Dann sind für alle möglichen Indexkombinationen die (auf gewissen offenen Teilmengen eingeschränkten) Hintereinanderschaltungen

$\gamma _{\ell }\circ (\psi \circ \varphi )\circ \alpha _{i}^{-1}=\gamma _{\ell }\circ \psi \circ \beta _{j}^{-1}\circ \beta _{j}\circ \varphi \circ \alpha _{i}^{-1}={\left(\gamma _{\ell }\circ \psi \circ \beta _{j}^{-1}\right)}\circ {\left(\beta _{j}\circ \varphi \circ \alpha _{i}^{-1}\right)}\,$

nach der Kettenregel differenzierbar. Bei ${}k\geq 2$ verwendet man Aufgabe.

$\Box$

Definition

Es seien ${}L$ und ${}M$ zwei ${}C^{k}$-Mannigfaltigkeiten. Ein Homöomorphismus

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

heißt ein ${}C^{k}$-Diffeomorphismus, wenn sowohl ${}\varphi$ als auch ${}\varphi ^{-1}$ ${}C^{k}$-Abbildungen sind.

Definition

Zwei ${}C^{k}$-Mannigfaltigkeiten ${}L$ und ${}M$ heißen ${}C^{k}$-diffeomorph, wenn es zwischen ihnen einen ${}C^{k}$- Diffeomorphismus gibt.