Differenzierbarkeit/Reell aber nicht komplex differenzierbar/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung

${\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\cong {\mathbb {C} },$

die in reellen Koordinaten durch ${}(x,y)\mapsto (4x^{2}-xy,2xy^{2}+y^{3})=(g,h)$ gegeben ist. Diese ist offenbar reell differenzierbar mit der Matrix

${\begin{pmatrix}8x-y&-x\\2y^{2}&4xy+3y^{2}\end{pmatrix}},$

aber nicht komplex differenzierbar.