Distributivgesetz/Mehrfaches Produkt/Aufgabe/Lösung

Es sei die Aussage für ein bestimmtes ${}k$ bewiesen. Für ${}k+1$ Faktoren ist dann unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und unter Verwendung des Falles von zwei Faktoren

${}{\begin{aligned}&{\left(\sum _{i_{1}=1}^{n_{1}}a_{1,i_{1}}\right)}\cdot {\left(\sum _{i_{2}=1}^{n_{2}}a_{2,i_{2}}\right)}\cdots {\left(\sum _{i_{k+1}=1}^{n_{k+1}}a_{k+1,i_{k+1}}\right)}\\&={\left(\sum _{(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k})\in \{1,\ldots ,n_{1}\}\times \{1,\ldots ,n_{2}\}\times \cdots \times \{1,\ldots ,n_{k}\}}a_{1,i_{1}}\cdot a_{2,i_{2}}\cdots a_{k,i_{k}}\right)}{\left(\sum _{i_{k+1}=1}^{n_{k+1}}a_{k+1,i_{k+1}}\right)}\\&={\left(\sum _{(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},i_{k+1})\in \{1,\ldots ,n_{1}\}\times \{1,\ldots ,n_{2}\}\times \cdots \times \{1,\ldots ,n_{k}\}\times \{1,\ldots ,n_{k+1}\}}a_{1,i_{1}}\cdot a_{2,i_{2}}\cdots a_{k,i_{k}}\cdot a_{k+1,i_{k+1}}\right)}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe