Aufgrund der Division mit Rest in
gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen
und
mit
-
![{\displaystyle {}0\leq r<d\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc3b2116ed1058981726415e4a6068c6908cc151)
mit
-
![{\displaystyle {}n=qd+r\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7997329fe0a0a39037d053a1d2876d70f6a439e7)
Bei
-
![{\displaystyle {}r\leq {\frac {d}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc262e27ddb24e15e510bb2a16598e8a68f43f84)
ist die Existenz bewiesen. Bei
-
![{\displaystyle {}r>{\frac {d}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/453f456554e9694f78adec5c865e3e419da32c07)
setzt man
-
![{\displaystyle {}s:=r-d\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e29f670d91f3af80e79e46957b095295277abed)
Es ist dann
-
![{\displaystyle {}0>s=r-d>{\frac {d}{2}}-d=-{\frac {d}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcd634b06b77e3ac0c54c35e5cc7f927c88a22c9)
und
-
![{\displaystyle {}n=qd+r=(q+1)d+r-d=(q+1)d+s\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094b347f46bf37fe0fd9496ff0c51837d16545e5)
ergibt die Existenz. Aus zwei Darstellungen
-
![{\displaystyle {}kd+s=n=\ell d+t\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb47bf2ee42b27d5b1477e666148c035efe48488)
mit
ergibt sich
-
![{\displaystyle {}0=(k-\ell )d+s-t\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a96fe55d625d18cfec3329781b33e776f47baf0e)
mit
-
![{\displaystyle {}0\leq s-t<d\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23775b98c19f267038ccb70c8e507debb9c01516)
und die Eindeutigkeit in der Division mit Rest sichert die Eindeutigkeit in der vorliegenden Form.