Ebene Kurven/Schnitt und Schnittmultiplizität/Y ist X^3 und Y^2 ist X^3/Aufgabe/Lösung

Die Schnittpunkte der beiden Kurven im ${}{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}$ sind durch ${}V(Y-X^{3},Y^{2}-X^{3})$ gegeben. Das heißt für einen Schnittpunkt ${}(x,y)$ muss gelten

$y=x^{3}\,\,{\text{ und }}\,\,y^{2}=x^{3}.$

Wir setzen die erste Gleichung in die zweite ein und erhalten ${}y(y-1)=0$. Also ist ${}y=0$ oder ${}y=1$. Folglich sind die Schnittpunkte gegeben durch

$\{(0,0),(1,1),(1,\zeta ),(1,\zeta ^{2})\},$

wobei ${}\zeta$ eine primitive dritte Einheitswurzel ist. Im Nullpunkt ist der Restklassenring gleich

${}K[X,Y]_{(X,Y)}/(Y-X^{3},Y^{2}-X^{3})=K[X]_{(X)}/(X^{3},X^{6}-X^{3})=K[X]/(X^{3})\,.$

Dieser hat die Dimension drei, sodass also die Schnittmultiplizität dort ${}3$ ist.

Zur Bestimmung der Schnittmultiplizitäten in den drei anderen Punkten berechnen wir die partiellen Ableitungen, das ergibt einerseits

$(1,-3x^{2})$

und andererseits

${}(2y,-3x^{2})=(2,-3x^{2})\,.$

Da ${}x\neq 0$ ist, sind diese beiden Richtungen linear unabhängig, sodass beide Kurven in diesen Punkten glatt sind und ein transversaler Schnitt vorliegt, also Schnittmultiplizität eins.

Im Projektiven müssen wir die beiden Ideale homogenisieren, d.h. wir betrachten ${}V_{+}(YZ^{2}-X^{3})$ und ${}V_{+}(Y^{2}Z-X^{3})$. Mit ${}z=0$ erhalten wir, dass ${}x=0$ sein muss, und finden also den Schnittpunkt ${}(0,1,0)$. Eine affine Umgebung wird durch ${}D_{+}(Y)$ gegeben, mit den affinen Gleichungen ${}Z^{2}-X^{3}$ und ${}Z-X^{3}$. Da dies die Ausgangsgleichungen sind, ist dort die Schnittmultiplizität wieder gleich ${}3$. Die Summe der Schnittmultiplizitäten ist also ${}9$, was auch dem Produkt der beiden Kurvengrade entspricht.

Zur gelösten Aufgabe