Ebene algebraische Kurve/Multiplizität über Hilbert-Samuel Polynom/Fakt

Es sei ${}P\in V=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ ein Punkt auf einer ebenen affinen Kurve. Es sei ${}R={\mathcal {O}}_{V,P}$ der zugehörige lokale Ring mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}$.

Dann gilt für die Multiplizität ${}m_{P}$ von ${}P$ die Gleichung

$m_{P}=\dim _{K}{\left({\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}\right)}{\text{ für }}n{\text{ hinreichend groß}}.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen