Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Glatter Punkt auf C/Ordnung von G im Bewertungsring/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}C=V(F)$ und ${}D=V(G)$ ebene algebraische Kurven. Es sei ${}P\in C$ ein glatter Punkt, sodass der lokale Ring ${}R=(K[X,Y]_{\mathfrak {m}})/(F)$ ein diskreter Bewertungsring ist. Zeige, dass die Beziehung

${}\operatorname {mult} _{P}(F,G)=\operatorname {ord} \,(G)\,$

gilt, wobei ${}\operatorname {ord} \,$ die Ordnung im Bewertungsring ${}R$ bezeichnet.

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