Ebene algebraische Kurven/Z mod 5/Einheitskreis und x^3-2y^2+3/Durchschnitt und unendlich ferne Punkte/Aufgabe/Lösung

Wir addieren die beiden Gleichungen

$2X^{2}+2Y^{2}-2=0\,\,{\text{ und }}\,\,X^{3}-2Y^{2}+3=0$

und erhalten die Bedingung

${}X^{3}+2X^{2}+1=0\,.$

Für die möglichen Werte ${}x=0,1,2,3,4$ ergibt sich beim Einsetzen:${}1,4,2,1,2$. Diese Bedingung ist also nicht erfüllbar und daher ist der Durchschnitt der beiden Kurven in ${}{\mathbb {A} }_{K}^{2}$ leer. Für die Punkte im Unendlichen betrachten wir die Homogenisierungen, also zunächst ${}X^{2}+Y^{2}-Z^{2}=0$.

Für ${}Z=0$ erhält man die Bedingung ${}X^{2}+Y^{2}=0$. Die Quadrate in ${}\mathbb {Z} /5$ sind ${}0,1,4$. Die Lösung ${}(0,0,0)$ ist nicht erlaubt, da sie keinen projektiven Punkt repräsentiert, und man erhält die Lösungen ${}(\pm 1,\pm 2)$ und ${}(\pm 2,\pm 1)$. Da wir an den projektiven Punkten interessiert sind, kann man die erste Komponente zu ${}1$ normieren und die zweite Komponente muss ${}2$ oder ${}-2=3$ sein. Es gibt also zwei unendlich ferne Punkte.

Die Homogenisierung der anderen Gleichung ist ${}X^{3}-2Y^{2}Z+3Z^{3}$. Bei ${}Z=0$ ergibt sich sofort ${}X^{3}=0$ und damit ${}X=0$, sodass der einzige unendlich ferne Punkt gleich ${}(0,1,0)$ ist. Damit ist auch der Durchschnitt der projektiven Abschlüsse leer.

Über einem algebraisch abgeschlossenen Körper gibt es nach dem Satz von Bezout ${}6$ Schnittpunkte (mit Vielfachheit gezählt), die obigen Berechnungen auf der unendlich fernen Geraden ändern sich aber nicht, sodass es dort keine Schnittpunkte gibt.

Zur gelösten Aufgabe