Es seien zwei ebene algebraische Kurven
gegeben, die keine Komponente gemeinsam haben. Dann besteht der Durchschnitt nach
Fakt
nur aus endlich vielen Punkten. Wir wollen das Schnittverhalten der beiden Kurven in einem Punkt
quantitativ erfassen. Dabei empfiehlt es sich, eine etwas allgemeinere Situation zu betrachten, und zwar schreiben wir und und berücksichtigen, dass in und in Primfaktoren
(jeweils)
mehrfach vorkommen können. D.h. wir unterscheiden von nun an zwischen den Kurven und , obwohl es sich geometrisch um das gleiche Objekt handelt.
Es sei das maximale Ideal in . Da und keinen gemeinsamen Teiler haben, gibt es in zwischen und kein weiteres Primideal. Daher ist in jede Nichteinheit
nilpotent.
Daher gilt in die Beziehung
für ein . Es liegt daher eine Surjektion
vor. Nach
Fakt
besitzt der Restklassenring links eine endliche -Dimension, so dass dies auch für den Restklassenring rechts gilt.
Aufgrund von diesem Lemma ist die folgende Definition sinnvoll.
Sei
und eine Gerade
in der affinen Ebene gegeben, die keine Komponente von sei. Es sei
ein Punkt des Durchschnitts. Den
Restklassenring
berechnet man, indem man mittels des linearen Terms nach einer der Variablen
oder
auflöst. Damit kann man eine Variable eliminieren und der Restklassenring ist isomorph zu , wobei man erhält, indem man in die Variable durch ersetzt. Dies kann man auch so sehen, dass man zuerst berechnet und dann an dem Punkt lokalisiert. Das Polynom hat in eine Faktorisierung in Linearfaktoren
(der Körper sei
algebraisch abgeschlossen)
Da der Punkt eine Nullstelle ist, muss für ein sein. Bei der Lokalisierung werden die anderen Linearfaktoren zu
Einheiten
gemacht und „übrig“ bleibt
Wir setzen
und
,
und wir nehmen
an, so dass wir
schreiben können. Es sei zunächst die Gerade keine
Tangente
von in , also keine Komponente von . Es ist dann
Hierbei ist
und es wird mit einer
Einheit rausdividiert, so dass der Restklassenring die
-Dimension besitzt. Im allgemeinen Fall gibt es ein minimales
, , mit
(sonst wäre eine Komponente von ).
Dann ist mit dem gleichen Argument die Dimension des Restklassenringes gleich .
Es seien und . Dann sagt man, dass sich
und
im Punkt transversal schneiden, wenn sowohl auf als auch auf ein
glatter Punkt
ist und wenn die
Tangenten
der beiden Kurven im Punkt verschieden sind.
Es sei
der
lokale Ring
zum
(Null-)Punkt in der Ebene. Es sei zunächst der Schnitt als transversal vorausgesetzt. Dann sind insbesondere beide Kurven in glatt, und
ist nach
Fakt
ein
diskreter Bewertungsring.
Da die Tangenten verschieden sind, können wir annehmen, dass die Tangente an durch und die Tangente an durch gegeben ist. Nach dem Beweis zu
Fakt
ist dann eine Ortsuniformisierende von . Da die Form mit hat, ist ebenfalls eine Ortsuniformisierende in und daher ist
.
Daher ist die Schnittmultiplizität eins.
Für die Rückrichtung folgt aus
Fakt, dass die Multiplizität der beiden Kurven in eins sein muss und daher beide Kurven in glatt sind. Nehmen wir an, dass die Tangenten übereinstimmen. Dann können wir annehmen, dass sowohl als auch die Form Terme von größerem Grad besitzen. Man kann die Idealerzeuger durch ersetzen, und dabei ist . Dann erzeugt aber in
nicht das maximale Ideal, und die Schnittmultiplizität kann nicht eins sein.
Diese Aussage folgt durch Induktion aus dem Spezialfall
(und ).
Sei
.
Wegen
hat man eine surjektive Abbildung
.
Andererseits induziert die Multiplikation mit einen
-Modulhomomorphismus.
Wir behaupten, dass eine
kurze exakte Sequenz
vorliegt. Dabei ist die Surjektivität klar und ebenso, dass die hintereinander geschalteten Abbildungen die Nullabbildung sind. Es sei ein Element, das rechts auf abgebildet wird. Dann kann man in schreiben:
.
Dann repräsentiert ebenfalls diese Klasse in , und dieses kommt von links. Es sei nun ein Element, das durch Multiplikation mit auf abgebildet wird, also
.
Wir schreiben dies als
Da
und
keinen gemeinsamen Primteiler besitzen, gilt dies erst recht für und . Also muss ein Teiler von sein und es ergibt sich eine Beziehung
,
woraus folgt, dass bereits
ist.
Aus der Additivitätseigenschaft von kurzen exakten Sequenzen folgt die gewünschte Identität