a) Das charakteristische Polynom ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\chi _{A}&=\det {\begin{pmatrix}x-1&-2&-1-2{\mathrm {i} }\\0&x-3{\mathrm {i} }&-{\mathrm {i} }\\0&0&x-1+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\\&=(x-1)(x-3{\mathrm {i} })(x-1+{\mathrm {i} })\\&=x^{3}-(2+2{\mathrm {i} })x^{2}+(4+5{\mathrm {i} })x+-3-3{\mathrm {i} }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0aa2bf44c6cc61ec67481349efd80a958f625529)
und die Eigenwerte von
sind
.
b) Wir bestimmen für jeden Eigenwert einen Eigenvektor.
:
Wir müssen ein nichttriviales Element im Kern von
-
bestimmen. Da gehört
dazu.
:
Dies führt auf
-
Wir wählen
und
und erhalten
, also ist
-
ein Eigenvektor zum Eigenwert
.
:
Dies führt auf
-
Mit
und
ist die mittlere Zeile erfüllt. Die erste Zeile wird dann zu
-
und daher ist
-
![{\displaystyle {}a=2-5{\mathrm {i} }\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2b46b466260b8674622dec4e736a050d5a1711d)
Somit ist
-
ein Eigenvektor zum Eigenwert
![{\displaystyle {}1-{\mathrm {i} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d26e12cff630f40b03db840b345b551debdd6620)
.
c) Bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren besitzt die beschreibende Matrix die Gestalt
-