Endlich erzeugte integre K-Algebra/Definitionsort im K-Spektrum ist offen/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen, dass es zu jedem Punkt ${}P$ mit ${}q\in {\mathcal {O}}_{P}$ eine offene Umgebung des Punktes gibt derart, dass die Eigenschaft für jeden Punkt der Umgebung gilt. Damit ist dann die Vereinigung dieser offenen Umgebungen offen. Der lokale Ring hat die Gestalt ${}{\mathcal {O}}_{P}=R_{\mathfrak {m}}$ mit einem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in ${}R$. Die Zugehörigkeit ${}q\in R_{\mathfrak {m}}$ bedeutet, dass man ${}q=r/f$ schreiben kann mit ${}f\not \in {\mathfrak {m}}$. Damit ist ${}P\in D(f)$ eine offene Umgebung und ${}f$ ist für jeden Punkt dieser

offenen Umgebung ein erlaubter Nenner, sodass für jeden Punkt ${}P'\in D(f)$ ebenfalls ${}q\in {\mathcal {O}}_{P'}$ gilt.

Zur gelösten Aufgabe