Endliche Gruppenoperation/Reflektionsanzahl/Laurententwicklung der Hilbertreihe/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}0$. Es sei ${}G\subset \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine endliche Untergruppe und sei ${}r$ die Anzahl der Pseudoreflektionen in ${}G$.

Dann ist die Laurent-Entwicklung der Hilbert-Reihe des Invariantenringes um ${}z=1$ gleich

${}\Phi _{G}(z)={\frac {1}{\#\left(G\right)}}(1-z)^{-n}+{\frac {r}{2{\#\left(G\right)}}}(1-z)^{-n+1}+\ldots \,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen