Endliche Gruppenoperation/Reflektionsanzahl/Laurententwicklung der Hilbertreihe/Fakt/Beweis

Beweis

Nach der Molien-Formel ist

${}\Phi _{G}(z)={\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma \in G}{\frac {1}{\det {\left(\operatorname {Id} -z\sigma \right)}}}\,.$

Die Summanden haben die Gestalt

${}{\frac {1}{\#\left(G\right)}}{\frac {1}{\det {\left(\operatorname {Id} -z\sigma \right)}}}={\frac {1}{\#\left(G\right)}}{\frac {1}{(1-z\xi _{\sigma ,1})}}\cdots {\frac {1}{(1-z\xi _{\sigma ,n})}}\,,$

wobei die ${}\xi _{\sigma ,j}$ die Eigenwerte (mit Wiederholungen) von ${}\sigma$ seien. Für ${}\sigma =\operatorname {Id}$ hat der entsprechende Summand in ${}z=1$ einen Pol der Ordnung ${}n$. Für ${}\sigma \neq \operatorname {Id}$ haben die Summanden an ${}z=1$ einen Pol von maximaler Ordnung ${}n-1$. Diese Maximalität tritt genau dann ein, wenn der Eigenwert ${}1$ die Vielfachheit ${}n-1$ besitzt, wenn also ${}\sigma$ eine Pseudoreflektion ist. In diesem Fall ist

${}{\frac {1}{\det {\left(\operatorname {Id} -z\sigma \right)}}}={\frac {1}{(1-z)^{n-1}}}\cdot {\frac {1}{\left(1-z\det \sigma \right)}}\,,$

da bei einer Pseudoreflektion der andere Eigenwert gleich der Determinante ist. Daher ist der Koeffizient zu ${}(1-z)^{-n+1}$ in der Laurent-Entwicklung gleich

${\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma {\text{ Pseudoreflektion}}}{\frac {1}{1-\det \sigma }}$

(im hinteren Faktor wird $z=1$ gesetzt). Das Inverse einer Pseudoreflektion ist ebenfalls eine Pseudoreflektion, daher ist

${}{\begin{aligned}2\sum _{\sigma {\text{ Pseudoreflektion}}}{\frac {1}{1-\det \sigma }}&=\sum _{\sigma {\text{ Pseudoreflektion}}}{\left({\frac {1}{1-\det \sigma }}+{\frac {1}{1-{\left(\det \sigma \right)}^{-1}}}\right)}\\&=\sum _{\sigma {\text{ Pseudoreflektion}}}1\\&=r.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage