Endliche Körper/Existenz und Eindeutigkeit/Fakt mit Beweisklappe

Satz

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}e\in \mathbb {N} _{+}$.

Dann gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper mit ${}q=p^{e}$ Elementen.

Beweis

Existenz. Wir wenden Fakt auf den Grundkörper ${}\mathbb {Z} /(p)$ und das Polynom ${}X^{q}-X$ an und erhalten einen Körper ${}L$ der Charakteristik ${}p$, über dem ${}X^{q}-X$ in Linearfaktoren zerfällt. Nach Fakt gibt es dann einen Unterkörper ${}M$ von ${}L$, der aus genau ${}q$ Elementen besteht.

Eindeutigkeit. Es seien ${}K$ und ${}L$ zwei Körper mit ${}q$ Elementen. Es sei ${}x\in K^{\times }$ ein primitives Element, das nach Fakt existiert. Daher ist ${}K\cong \mathbb {Z} /(p)[X]/(F)$, wobei ${}F\in \mathbb {Z} /(p)[X]$ das Minimalpolynom von ${}x\in K$ ist. Da ${}K^{\times }$ die Ordnung ${}q-1$ besitzt, gilt für jede Einheit ${}z^{q-1}=1$ und damit überhaupt ${}z^{q}=z$ für alle ${}z\in K$. D.h., dass jedes Element von ${}K$ eine Nullstelle von ${}X^{q}-X$ ist und dass daher ${}X^{q}-X$ über ${}K$ in Linearfaktoren zerfällt. Da insbesondere ${}x^{q}-x=0$ ist, muss das Minimalpolynom ${}F$ ein Teiler von ${}X^{q}-X$ sein, also ${}X^{q}-X=F\cdot G$. Nun zerfällt (aus den gleichen Gründen) das Polynom ${}X^{q}-X$ auch über ${}L$ und insbesondere hat ${}F$ eine Nullstelle ${}\lambda \in L$. Der Einsetzungshomomorphismus liefert einen Ringhomomorphismus

$K\cong \mathbb {Z} /(p)[X]/(F)\longrightarrow L.$

Da beides Körper sind, muss dieser injektiv sein. Da links und rechts jeweils ${}q$-elementige Mengen stehen, muss er auch surjektiv sein.

$\Box$