Endliche Körpererweiterung/Norm und Spur einer linearen Abbildung/Bemerkung

Zu einer linearen Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eines endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraumes ${}V$ in sich wird die Determinante ${}\det(\varphi )$ und die Spur ${}S(\varphi )$ wie folgt berechnet. Man wählt eine ${}K$-Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ und repräsentiert die lineare Abbildung bezüglich dieser Basis durch eine quadratische ${}n\times n$-Matrix

${\begin{pmatrix}\lambda _{1,1}&\cdots &\lambda _{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda _{n,1}&\cdots &\lambda _{n,n}\end{pmatrix}}$

mit ${}\lambda _{ij}\in K$ und rechnet dann die Determinante aus. Es folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz, dass dies unabhängig von der Wahl der Basis ist. Die Spur ist durch

${}S(\varphi )=\lambda _{1,1}+\lambda _{2,2}+\cdots +\lambda _{n,n}\,$

gegeben, und dies ist nach Aufgabe ebenfalls unabhängig von der Wahl der Basis.