Endliche Körpererweiterungen von Q/X^3 ist p/f ist 2+3x-4x^2/Berechne Invarianten/Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei

${}L=\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-p\right)}\,$

der durch das irreduzible Polynom ${}X^{3}-p$ definierte Erweiterungskörper von ${}\mathbb {Q}$. Es sei

${}f=2+3x-4x^{2}\,.$

a) Finde die Matrix bezüglich der ${}\mathbb {Q}$-Basis ${}1,x,x^{2}$ von ${}L$ der durch die Multiplikation mit ${}f$ definierten ${}\mathbb {Q}$-linearen Abbildung.

b) Berechne die Norm und die Spur von ${}f$.

c) Bestimme das Minimalpolynom von ${}f$.

d) Finde das Inverse von ${}f$.

e) Berechne die Diskriminante der Basis ${}1,f,f^{2}$.

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