Endlicher Körper/23 hoch 2/Beispiel

Wir konstruieren einen Körper mit ${}23^{2}=529$ Elementen und knüpfen dabei an Beispiel an. Da die ${}5\in \mathbb {Z} /(23)$ primitiv ist, folgt, dass das Polynom ${}X^{2}-5\in \mathbb {Z} /(23)[X]$ irreduzibel ist. Andernfalls müsste es eine Nullstelle haben und dann wäre ${}5=a^{2}$ ein Quadrat mit ${}a\in \mathbb {Z} /(23)$ . Doch dann wäre ${}5^{11}=a^{22}=1$ , was nicht der Fall ist.

Es folgt nach Fakt, dass

{}K=\mathbb {Z} /(23)[X]/(X^{2}-5)\,

ein Körper ist. Dieser hat ${}23^{2}$ Elemente, da man jede Restklasse auf genau eine Weise als ${}ax+b$ mit ${}a,b\in \mathbb {Z} /(23)$ schreiben kann ( ${}x$ bezeichne die Restklasse von ${}X$ ). Dieser Körper enthält ${}\mathbb {Z} /(23)$ , und die Ordnungen dieser Elemente ändern sich nicht (und sie sind insbesondere nicht primitiv im größeren Körper).

Wir möchten eine primitive Einheit in diesem Körper finden und orientieren uns an Fakt. Die Ordnung von ${}K^{\times }$ ist ${}528=16\cdot 3\cdot 11$ . Wir müssen für jede dieser Primzahlpotenzen ein Element mit dieser Ordnung finden. Die ${}2$ hat die Ordnung ${}11$ . Das Element ${}11-x$ hat die Ordnung ${}3$ , es ist nämlich

{}(11-x)^{3}=121\cdot 11-3\cdot 121x+33x^{2}-x^{3}=66-3\cdot 6x+50-5x=116-23x=1\,.

Um ein Element der Ordnung ${}16$ zu finden, ziehen wir sukzessive Quadratwurzeln aus ${}-1$ . Es ist

{}(3x)^{2}=9x^{2}=45=-1\,.

Eine Quadratwurzel aus ${}3x$ ist ${}14+19x$ , wegen

{}(14+19x)^{2}=196+361\cdot 5+2\cdot 14\cdot 19x=12+16\cdot 5+5\cdot 19x=3x\,.

Um eine Quadratwurzel für ${}14+19x$ zu finden, setzen wir ${}(a+bx)^{2}=14+19x$ an, was zum Gleichungssystem ${}a^{2}+5b^{2}=14$ und ${}2ab=19$ über ${}\mathbb {Z} /(23)$ führt. Es ist dann