Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Orthogonal/Fakt

Matrixcharakterisierung von Isometrien

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von ${}V$. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und ${}M$ die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich der gegebenen Basis.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann eine Isometrie, wenn

${}{M^{\text{tr}}}M=E_{n}\,$

ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen