Flächenmaximierung Stadion/Aufgabe/Lösung

Sei ${}a$ die Kantenlänge der geraden Längsseite und sei ${}b$ der Durchmesser der beiden Halbkreise links und rechts. Dann ist der Umfang ${}350{\mbox{m}}=\pi b+2a$, also ${}b=(350{\mbox{m}}-2a)/\pi$. Die Fläche des Spielfelds ist ${}ab=a(350{\mbox{m}}-2a)/\pi =a(175{\mbox{m}}-a){\frac {2}{\pi }}$. Der Graph dieser Funktion in Abhängigkeit von ${}a$ ist eine nach unten geöffnete Parabel mit Nullstellen bei ${}a=0$ und ${}a=175{\mbox{m}}$. Der Scheitelpunkt und damit das Maximum liegt auf der Mitte dazwischen, also bei ${}a=87{,}5{\mbox{m}}$. Der Durchmesser der Halbkreise ist also ${}b=(350{\mbox{m}}-287{,}5{\mbox{m}})/\pi \approx 55{,}7{\mbox{m}}$.